Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).
Nejčastěji se tělesem rozumí komutativní těleso, ve kterém je operace násobení komutativní, zvané také pole (anglicky field). To odpovídá tomu, že nejčastěji uvažovaná tělesa, totiž reálná čísla, racionální čísla a komplexní čísla, jsou všechna komutativní. Rovněž jsou podle Wedderburnovy věty komutativní i všechna konečná tělesa. Příkladem nekomutativního tělesa je těleso kvaternionů.
Definice tělesa
Trojici , kde je množina a + (sčítání) a (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li okruh a platí-li navíc
existence neutrálního (jednotkového) prvku vzhledem k násobení ( často značíme ):
existence inverzního prvku vzhledem k násobení:
Většinou se ještě požaduje, aby množina měla alespoň 2 prvky, neboli aby .
Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina s aspoň dvěma prvky a s následujícími operacemi:
sčítání, přičemž je Abelova grupa (+ je komutativní), násobení, přičemž je grupa,
a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.
Nadtěleso tělesa je takové těleso, že je jeho podmnožinou.
Příklady těles Množina racionálních čísel Množina reálných čísel a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel Kvaterniony, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel Těleso (reálných) racionálních funkcí Množina zbytkových tříd pro každé prvočíslo . Galoisova tělesa
Odkazy Reference
Související články Archimédovské těleso (algebra)
Externí odkazy Skripta Pěstujeme lineární algebru Komutativní těleso na MathWorld (en) Generování konečných těles
Kategorie:Algebraické struktury