V lineární algebře se matice, která vznikne z matice vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici a obvykle se značí . Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.
Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. Matice transponovaná (neboli "transpozice") je definována na str. 31. Reprezentuje-li matice binární relaci, pak její transpozice odpovídá inverzní relaci.
Definice Matici transponovanou k matici lze získat libovolnou z následujících metod: Převrácením podél její hlavní diagonály nebo zápisem řádků do sloupců nebo zápisem sloupců do řádků .
Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí:
Pokud má matice rozměry , pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech .
Symbol je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné ve výrazu , znamenajícím -tou mocninu čtvercové matice .
Ukázky Transpozicí matice vznikne .
Definice matic využívající transpozici Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili je symetrická, pokud
.
Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili je antisymetrická, pokud
.
Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili je hermitovská, pokud
.
Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili je ortogonální, pokud
.
Vlastnosti Dvojitá transpozice matice je opět původní matice: , neboli operace transpozice je involuce. Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:
neboli transpozice zachovává skalární násobek matic. Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:
neboli transpozice zachovává součet matic. Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:
Indukcí lze tento vztah rozšířit na součin více matic: Z předchozího vztahu vyplývá, že čtvercová matice je regulární, právě když je regulární . V tomto případě platí, že transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:
Skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů a lze spočítat jako jediný prvek maticového součinu:
Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění:
Vlastní čísla čtvercové matice se shodují s vlastními čísly její transpozice , protože obě matice mají totožný charakteristický polynom. Pro libovolnou matici platí, že obě matice i jsou symetrické. Symetrie matice prostě plyne ze skutečnosti, že je sama sobě transpozicí: .
Je-li navíc reálná matice, pak obě matice i jsou pozitivně semidefinitní.
Implementace maticové transpozice na počítačích náhled|Ilustrace řádkového a sloupcového pořadí prvků matice Na počítači se lze často vyhnout výpočtu a ukládání transpozice matice v paměti pouhým přístupem ke stejným datům, ale jen v jiném pořadí. Například softwarové knihovny pro lineární algebru, jako je BLAS, obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matice mají být interpretovány v transponovaném pořadí, aby se předešlo nutnosti přesunu dat.
V řadě případů je však nutné nebo žádoucí fyzicky přeuspořádat matici v paměti na její transpozici. Například s maticí uloženou v pořadí po řádcích jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. Pokud je třeba provádět opakované operace se sloupci, například v rychlé Fourierově transformaci, může transpozice matice v paměti (aby sloupce byly souvislé) zrychlit výpočet díky principu lokality paměti.
Ve výpočtech je vhodné provádět transpozici matici s minimálními dodatečnými paměťovými nároky. To vede k problému transpozice matice typu na místě, neboli s dodatečnou pamětí konstantní velikosti, případně o velikosti mnohem menší než udává součin odpovídající alokaci paměti pro celou transponovanou matici. V případě, že , jde o složitou permutaci uložených dat, jejíž implementace na místě není triviální. Efektivní transpozice matice na místě se stala předmětem četných výzkumných publikací v teoretické informatice už koncem 50. let 20. století.
Odkazy Reference
Literatura
Související články Inverzní matice Násobení matic Matice
Externí odkazy Eduard Krajník - Maticový počet
Kategorie:Teorie matic