Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce používaná ve fyzikální teorii pole, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.
Definice Pro konzervativní systém má lagrangián tvar
kde jsou zobecněné souřadnice, jsou zobecněné rychlosti, je celková kinetická energie, je potenciální energie a je počet stupňů volnosti.
Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce , tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru . Pak: Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)
Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.
Vlastnosti Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí , kde je libovolná funkce polohy a času.
Hustota lagrangiánu Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem
Souvislost se zákony zachování Podle Noetherové teorému každá spojitá symetrie lagrangiánu odpovídá jednomu zákonu zachování. Například:
Symetrie vůči posunutí v čase vede k zachování energie. Symetrie vůči posunutí v prostoru vede k zachování hybnosti. Symetrie vůči rotaci v prostoru vede k zachování momentu hybnosti. Globální fázová symetrie v kvantové teorii pole vede k zachování elektrického náboje.
Jednoduché příklady Lagrangián částice s rychlostí v konzervativním poli s potenciální energií
Lagrangián částice s nábojem v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem a magnetickým vektorovým potenciálem
Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s ):
Poznámky
Literatura
Související články Lagrangeovská formulace mechaniky Eulerova–Lagrangeova rovnice Akce (fyzika)
Kategorie:Teoretická mechanika