V teorii pravděpodobnosti je narozeninový problém úloha vypočítat minimální početnost skupiny lidí, ve které je alespoň 50% pravděpodobnost nalezení dvojice se stejným datem narození (den a měsíc). Narozeninovým paradoxem je pak označována skutečnost, že tento počet (23) je mnohem menší než intuitivní odhad. Pro skupinu 57 a více lidí je tato pravděpodobnost už více než 99 %, postupně rostoucí až ke 100 % pro 366 lidí (za předpokladu že pracujeme s rokem o 365 dnech). Matematika skrytá za tímto problémem vede k známému kryptografickému útoku zvanému narozeninový útok.
Výpočet pravděpodobnosti náhled|upright=1.5|Graf s křivkou přibližné pravděpodobnosti, že alespoň dva lidé sdílejí narozeniny v dané skupině lidí. Pro výpočet pravděpodobnosti, že v místnosti s n lidmi alespoň dva mají narozeniny ve stejný den, budeme předpokládat rovnoměrné rozdělení narozenin během roku (tj. budeme ignorovat přestupné roky, dvojčata atd.)
Je jednodušší nejprve spočítat pravděpodobnost p(n), že všech n narozenin je rozdílných. Pro n > 365 je tato pravděpodobnost, s ohledem na Dirichletův princip, rovna nule. Pro n ≤ 365 je dána vzorcem:
protože druhá osoba nemůže mít stejné narozeniny jako první (364/365), třetí nemůže mít stejné narozeniny jako první dvě (363/365) atd.
Skutečnost, že nejméně dva z n lidí mají stejné narozeniny, je komplementární jevu, že všechna data narozenin jsou různá. Proto pravděpodobnost p(n) je
Tato pravděpodobnost překračuje 1/2 pro n = 23 (hodnota kolem 50,7 %). Následující tabulka ukazuje pravděpodobnosti pro některé další hodnoty n (tabulka ignoruje přestupné roky, jak již bylo výše popsáno):
np(n)10 12 %20 41 %23 50,7 %30 70 %50 97 %100 99,99997 %200 99,9999999999999999999999999998 %300 (100 − 6×10−80) %350 (100 − 3×10−129) %366 100 %
Odkazy
Poznámky
Reference
Externí odkazy
Kategorie:Narozeniny Kategorie:Teorie pravděpodobnosti Kategorie:Paradoxy Kategorie:Matematické problémy