V matematice Cantorova–Heineova věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi, říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce
f : M → N,
kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.
Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.
Důkaz Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku
takové, že pro každé x, y z M
je:
takové, že tak, že a . kde d a jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.
Zvolme dvě posloupnosti xn a yn takové, že a .
Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti ( konvergující k x0 a k y0), takové, že
ale protože f je spojitá a a konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.
Reference
Související články Georg Cantor Eduard Heine
Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Funkcionální analýza