thumb|right|300p|Poisson-Boltzmann-ligningen beskriver interagerende ladningsbærere i form af ioner og evt. elektroner. Et hverdagseksempel er køkkensalt opløst i vand. I plasmaer og elektrolytter beskriver Poisson-Boltzmann-ligningen, hvordan det elektriske felt spreder sig pga. elektrisk skærmning; dvs. når ladninger udligner hinanden. Den lineariserede version kaldes for Debye-Hückel-ligningen.
Ligningen er opkaldt efter Siméon Denis Poisson og Ludwig Boltzmann, men modellen blev oprindeligt formuleret uafhængigt af Louis Georges Gouy og David Leonard Chapman i henholdsvis 1910 og 1913.
Udledning Det elektriske felt fra en ladningsdensitetet er generelt givet ved Gauss' lov:
Det elektriske potential , dvs. potentiel energi pr. ladning, er relateret til det elektriske felt ved
og derfor er det relateret til ladningsdensiteten ved en Poisson-ligning:
Plasma og elektrolytter består af mobile ladninger i form af ioner og elektroner. Densiteten af hver af disse giver samlet ladningsdensiteten:
Indsættes udtrykket for ladningsdensiteten i relationen for det elektriske potential, ses det, at
Interaktionsenergien mellem en ladningsbærer og det elektriske felt er givet ved:
Densiteten kan dermed findes vha. Boltzmann-fordelingen:
hvor er densiteten, hvis potentialet er nul. Det antages her, at hele systemet har opnået termodynamisk ligevægt og dermed har samme temperatur overalt. Dermed bliver ligningen for :
Hvis der er eksterne ladninger kan de lægges til:
Dette er Poisson-Boltzmann-ligningen. Ud fra denne differentialligning kan findes, skønt det ofte er nødvendigt at finde en numerisk løsning.
Alternativt kan den lineariseres, hvilket giver Debye-Hückel-ligningen.
Kildehenvisninger
Kategori:Elektrokemi Kategori:Plasmafysik