Fermats lille sætning siger, at hvis er et primtal, så gælder for ethvert heltal , at tallet er et heltalligt multiplum af . I notationen af modulær aritmetik udtrykkes dette som
For eksempel, hvis = 2 og = 7, så 2 7 = 128 og 128 - 2 = 126 = 7 × 18 er et heltalsmultipel på 7.
Hvis ikke kan deles med , svarer Fermats lille sætning til udsagnet om, at er et heltalligt multiplum af - eller udtrykt i modulær aritmetisk symbolsprog: . .
For eksempel, hvis = 2 og = 7, så 2 6 = 64 og 64 - 1 = 63 = 7 × 9 er således et multiplum af 7.
Fermats lille sætning er grundlaget for Fermat-primalitetstesten og er et af de grundlæggende resultater af elementær talteori . Teoremet er opkaldt efter Pierre de Fermat, der fremsagde det i 1640. Det kaldes den "lille sætning" for at skelne den fra Fermats sidste sætning, som også kaldes den "store" sætning. .
Historie right|thumb| Pierre de Fermat Pierre de Fermat fremsatte først sætningen i et brev dateret 18. oktober 1640 til sin ven og fortrolige Frénicle de Bessy . Hans formulering svarer til følgende: .Hvis er et primtal, og er et helt tal, der ikke kan deles med , er deleligt med .Dette kan oversættes med (forklaringer og formler tilføjet i parentes for lettere forståelse), som:Hvert primtal [ ] deler nødvendigvis en af kræfterne minus en af enhver [geometrisk] progression [ ] [det vil sige, der findes sådan, at deler ], og eksponenten af denne magt [ ] deler den givne primære minus en [deler ]. Når man har fundet den første magt [ ], der tilfredsstiller spørgsmålet, tilfredsstiller alle dem, hvis eksponenter er multipla af eksponenten af den første, spørgsmålet [det vil sige, at alle multipla af den første har den samme egenskab].Fermat overvejede ikke tilfældet, hvor er et multiplum af og beviste heller ikke sin påstand, men kun med angivelse af: (in French)(Og dette forslag gælder generelt for alle serier [ sic ] og for alle primtal; jeg vil sende dig en demonstration af det, hvis jeg ikke frygtede at fortsætte for længe. ) for the English translationEuler var den første, der offentliggjorde et bevis, hvilket kom i 1736 i en artikel med titlen "Theorematum Quorundam annonce Numeros Primos Spectantium demonstratio" i Proceedings of St. Petersburg Academy, men Leibniz havde givet stort set den samme bevis i en upubliceret manuskript fra engang før 1683. .
Udtrykket "Fermats lille sætning" blev sandsynligvis først brugt på tryk i 1913 i Zahlentheorie af Kurt Hensel :(Der findes en grundlæggende sætning i enhver begrænset gruppe, der normalt kaldes Fermats lille sætning, fordi Fermat var den første til at bevise en meget speciel del af den. )En tidlig brug på engelsk forekommer i AA Albert 's Modern Higher Algebra (1937), der henviser til "den såkaldte' lille 'Fermat-sætning" på side 206.
Yderligere historie Nogle matematikere stillede uafhængigt den relaterede hypotese (undertiden forkert kaldet den kinesiske hypotese), at hvis og kun hvis er primær. Faktisk er "hvis" -delen sand, og det er et specielt tilfælde af Fermats lille sætning. Imidlertid er "kun hvis" -delen falsk: For eksempel , men 341 = 11 × 31 er en pseudoprim . Se nedenfor .
Beviser Flere beviser for Fermats lille sætning er kendt. Det er ofte bevist som en følge af Eulers sætning .
Generaliseringer Eulers sætning er en generalisering af Fermats lille sætning: for ethvert modul og ethvert heltal har , som er indbyrdes primisk med ,
hvor betegner Eulers totientfunktion (som tæller heltalene fra 1 til der er coprime til ). Fermats lille sætning er faktisk et specielt tilfælde, for hvis er et primtal, så er .
for alle heltal og . Dette følger af Eulers sætning, da hvis , så er for et heltal , og man har
Hvis er primær, er dette også en følge af Fermats lille sætning. Dette bruges i vid udstrækning i modulær aritmetik, fordi dette gør det muligt at reducere modulær eksponentiering med store eksponenter til eksponenter mindre end .
Hvis ikke er primær, bruges dette i kryptografi med offentlig nøgle, typisk i RSA-kryptosystemet på følgende måde: hvis
at hente fra værdierne og er let, hvis man kender . Faktisk tillader den udvidede euklidiske algoritme at beregne det modulære inverse af modulo , det vil sige heltal sådan Den følger det
På den anden side, hvis er produktet af to forskellige primtal, så er . I dette tilfælde er det lige så vanskeligt at fra og (dette er ikke bevist, men ingen algoritme er kendt for computing uden at kende ). Ved kun at kende har beregningen af i det væsentlige den samme vanskelighed som faktoriseringen af , da , og omvendt er faktorerne og de ( heltal) opløsninger af ligningen .
Grundideen med RSA-kryptosystem er således: Hvis en meddelelse er krypteret som ved hjælp af offentlige værdier på og , kan den med den nuværende viden ikke dekrypteres uden at finde den (hemmelige) faktorer og for .
Fermats lille sætning er også relateret til Carmichael-funktionen og Carmichaels sætning såvel som til Lagranges sætning i gruppeteori .
Diskussion Det modsatte af Fermats lille sætning er generelt ikke sandt, da det mislykkes for Carmichael-tal . Imidlertid er en lidt stærkere form for sætningen sand, og den er kendt som Lehmer's sætning. Teoremet er som følger:
og for alle primer deler man har
så er prime.
Denne sætning danner grundlaget for Lucas primality test, en vigtig primality test .
Pseudoprimer Hvis og er coprime-tal, således at kan deles med , ikke at være primær. Hvis det ikke er tilfældet, kaldes en (Fermat) pseudoprim til at basere . Den første pseudoprim til base 2 blev fundet i 1820 af Pierre Frédéric Sarrus : 341 = 11 × 31.
Et tal der er et Fermat-pseudoprime, der baserer for hvert tal, coprime til kaldes et Carmichael-nummer (f.eks. 561). Alternativt kan ethvert tal tilfredsstille ligestillingen
er enten et primtal eller et Carmichael-tal.
Miller – Rabin-test Miller-Rabin-primality-testen bruger følgende udvidelse af Fermats lille sætning: Hvis er et ulige primtal, og , med ulige, så for hver primtal til , enten , eller der findes sådan, at og Dette resultat kan udledes af Fermats lille sætning af det faktum, at hvis er en ulige prim, så danner heltallet modulo et endeligt felt, hvor har nøjagtigt to kvadratrødder, 1 og -1.
Miller – Rabin-testen bruger denne egenskab på følgende måde: givet , med ulige, et ulige heltal, for hvilket primalitet skal testes, vælg tilfældigt sådan, at ; derefter beregne ; hvis ikke er 1 eller −1, så firkant det gentagne gange modulo indtil du får 1, −1 eller har kvadreret gange. Hvis og −1 ikke er opnået, er ikke prime. Ellers kan være prime eller ej. Hvis ikke er primær, er sandsynligheden for, at dette bevises ved testen, større end 1/4. Derfor er ikke er prime ikke-endelige tilfældige tests og kan således gøres så lavt som ønsket ved at øge .
Sammenfattende viser testen enten, at et tal ikke er prime, eller hævder, at det er prime med en sandsynlighed for fejl, der kan vælges så lavt som ønsket. Testen er meget enkel at implementere og beregningsmæssigt mere effektiv end alle kendte deterministiske tests. Derfor bruges det generelt, før der påbegyndes et bevis på, at det er primalt.
Referencer
Paulo Ribenboim (1995). The New Book of Prime Number Records (3. udg. ). New York: Springer-Verlag.ISBN 0-387-94457-5 . pp. 22–25, 49.
Kilder og henvisninger
János Bolyai og pseudoprimerne (på ungarsk) Fermats lille sætning ved knuden Euler-funktion og sætning ved knuden Fermats lille sætning og Sophies bevis Weisstein, Eric W. "Fermats lille sætning" . MathWorld . Weisstein, Eric W. "Fermat's Little Theorem Converse" . MathWorld .
Kategori:Sider uden gennemgået oversættelser Kategori:Matematiske sætninger