thumb|right|200px|De første 1.000 værdier af . I talteori er Eulers totientfunktion eller af et naturligt tal defineret til at være antallet af naturlige tal, mindre end eller lig med , som er indbyrdes primiske med . For eksempel er , da tallene 1, 3, 5 og 7 er de eneste tal mindre end eller lig 8, som er indbyrdes primiske med 8.
Navn og notation Eulers totientfunktion er opkaldt efter den schweiziske matematiker Leonhard Euler, der introducerede den i 1763. Totientfunktionen kaldes også Eulers phifunktion eller blot phifunktionen, da det græske bogstav phi bruges som symbol for funktionen. Den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss var den første til at benytte denne notation,Florian Cajori (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing Company. §409. førhen havde havde Euler brugt pi.Leonhard Euler, Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum, Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae, vol. 4, (1784), s. 18-30 Ordet totient kommer af latinske tot, betydende 'så mange'.
Cototienten af defineres som .
Beregning af værdier Der findes mange måder at udregne på.
Eulers Produktformel Eulers produktformel siger, at
hvor opfyldes af de primtal, som går op i .
Eksempel Som eksempel vil vi bruge denne formel til at udregne . De eneste primtal, som går op i 20 er 2 og 5, da . Derefter kan vi reducere. Alt i alt:
Altså er der 8 tal mindre eller lig 20 som er indbyrdes primiske med 20; disse er 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 og 19.
Sum af divisorer En anden identitet blev etableret af Gauss:Carl Friedrich Gauss (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), oversat til engelsk af H. Maser ()
hvor opfyldes af de naturlige tal, som går op i .
Ved at anvende på ligningen kan vi isolere :
hvor betegner (de).
Eksempel
Egenskaber Eulers totientfunktion er en talteoretisk funktion og et eksempel på en multiplikativ funktion.
Referencer
Se også Eulers sætning
Kategori:Funktioner Kategori:Talteori