thumb|Matematiklærer ved tavlen. thumb|Euklid bliver af mange regnet som geometriens far, her i et maleri af Rafael. thumb|Eksempel på sammenhæng mellem algebra og geometri. |thumb|300px|Mandelbrotmængden er et eksempel på en fraktal. thumb|300px|Perspektiviske trekanter. Forlænger man trekanternes respektive sider, mødes disse forlængelser (grå ubrudte) på en ret linje kaldet perspektivaksen. Linjer (blå prikkede) gennem trekanternes respektive hjørner vil mødes i perspektivcentret (forsvindingspunktet). - Allerede i 1600-tallet beviste den franske matematiker Girard Desargues, at hvis det første gælder, vil det andet også gælde, og omvendt. Matematik (fra oldgræsk μάθημα; máthēma: 'viden, læring, studie') er et vidensområde, der omfatter emner som tal (aritmetik og talteori), formler og relaterede strukturer (algebra), former og rummene, hvori de er indesluttet (geometri), og mængder og deres ændringer (infinitesimalregning og analyse). De fleste matematiske aktiviteter involverer brugen af ren fornuft til at opdage eller bevise egenskaberne ved abstrakte objekter, som består af enten abstraktioner fra naturen eller – i moderne matematik – enheder, der er fastsat med bestemte egenskaber, kaldet aksiomer. Et matematisk bevis består af en række anvendelser af nogle deduktive regler på allerede kendte resultater, herunder tidligere beviste teoremer, aksiomer og (i tilfælde af abstraktion fra naturen) nogle grundlæggende egenskaber, som betragtes som sande udgangspunkter for teorien i betragtning.
Matematik bruges i videnskaben til modelopsætning af fænomener, som så tillader forudsigelser at blive lavet ud fra eksperimentelle love. Den matematiske sandheds uafhængighed af enhver eksperimentering indebærer, at nøjagtigheden af sådanne forudsigelser kun afhænger af modellens tilstrækkelighed. Upræcise forudsigelser, snarere end at være forårsaget af forkert matematik, indebærer behovet for at ændre den anvendte matematiske model. For eksempel kunne Merkurs perihelion-præcession først forklares efter fremkomsten af Einsteins generelle relativitetsteori, som erstattede Newtons tyngdelov som en bedre matematisk model.
Matematik er essentielt inden for videnskab, iværksætteri, lægemidler, finans, datalogi og samfundsvidenskab. Nogle områder af matematik, såsom statistik og spilteori, er udviklet i tæt korrelation med deres anvendelser og er ofte grupperet under anvendt matematik. Andre matematikområder udvikles uafhængigt af enhver applikation (og kaldes derfor ren matematik), men praktiske applikationer opdages ofte senere. Et passende eksempel er problemet med heltalsfaktorisering, som går tilbage til Euklid, men som ikke havde nogen praktisk anvendelse før den blev brugt i RSA-kryptosystemet (til computernetværkssikkerhed).
Historisk dukkede konceptet om et bevis og dets tilhørende matematiske stringens først op i græsk matematik, især i Euklids Elementerne. Siden begyndelsen var matematik i det væsentlige opdelt i geometri og aritmetik (manipulation af naturlige tal og brøker), indtil det 16. og 17. århundrede, hvor algebra og infinitesimalregning blev introduceret som nye områder af emnet. Siden da har samspillet mellem matematiske innovationer og videnskabelige opdagelser ført til en hurtig stigning i udviklingen af matematik. I slutningen af det 19. århundrede førte matematikkens grundlæggende krise til systematiseringen af den aksiomatiske metode. Dette gav anledning til en dramatisk stigning i antallet af matematikområder og deres anvendelsesområder. Et eksempel på dette er Matematikfagsklassifikationen, som oplister mere end 60 matematikområder på første niveau.
Definition
Matematikken er en deduktiv og abstrakt videnskab, som bygger på logiske metoder. I den moderne definition er det undersøgelsen af aksiomatisk definerede abstrakte strukturer ved brug af logik, læren om sandt og falsk, som er det fælles udgangspunkt. De specifikke strukturer, der undersøges, har ofte deres udgangspunkt i naturvidenskaben, oftest i fysikken. Men i modsætning til naturvidenskaben beskriver matematikken en uvirkelig ideel verden, hvor for eksempel rette eller parallelle linjer findes modsat den virkelige verden. Matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende af hensyn til matematikkens udvikling af egne regler, for eksempel fordi de finder ud af, at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj, der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.
Der findes dog ikke nogen alment accepteret definition på, hvad matematik er. Aristoteles definerede faget som "videnskaben om størrelser", og denne definition var fremherskende frem til 1700-tallet. Men da den matematiske forskning i løbet af 1800-tallet i stigende grad blev præget af logisk strenghed og desuden begyndte at opdyrke nye felter som gruppeteori og projektiv geometri, som ikke primært handler om målelige størrelser, begyndte der blandt matematikere og filosoffer at dukke en række nye definitioner op. I dag arbejder man inden for matematisk filosofi med tre overordnede måder at definere faget på, nemlig en logicistisk, som anser matematik for at høre under logikken, en intuitionistisk, som lægger vægt på de tankerækker og tankebaner, som matematikere følger i deres arbejde med at opnå ny indsigt, samt en formalistisk, hvor det væsentlige er hvordan man håndterer matematiske symboler efter visse grundantagelser. Man er dog langtfra enige om, hvilken af disse overordnede måder giver den bedste forståelse af matematikkens natur.
Ganske mange matematikere er ligeglade med, hvordan matematik skal defineres, eller mener at det er umuligt at gøre. Der er heller ikke enighed om, hvorvidt matematik er videnskab eller kunst. Nogle bruger den simple definition, at "matematik er det som matematikere laver".
Historie thumb|upright|Det var den italienske matematiker Leonardo Fibonacci, som i begyndelsen af 1200-tallet indførte vores nuværende talsystem i Europa, et system som indiske matematikere havde udviklet omkring 1.000 år tidligere, og som den arabiske verden tog til sig i 800-tallet.
Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af algebra, rum og infinitesimalregning.
En vigtig del af grundlaget for den matematiske videnskab blev lagt i antikkens Grækenland, hvor især Euklids lærebog Elementerne fra omkring år 300 f.Kr. skulle vise sig at få kolossal betydning for matematikundervisningen helt frem til engang i 1900-tallet.Kjeldsen (2011), s. 34 Bogen er en samling af grundlæggende definitioner, samt udledninger af matematiske objekter og begreber baseret på disse definitioner, udledninger baseret udelukkende på logisk-deduktiv bevisførelse. Herved sikres, at hvis udgangspunktet for en udledning er sand, så bliver resultatet det også. Matematik kom herved til at fremstå som en videnskab som fremlagde absolutte sandheder.Kjeldsen (2011), s. 39
I antikkens Grækenland anså man matematikken for at omhandle og beskrive virkeligheden, og denne forestilling holdt sig til langt op i 1800-tallet. Men nye matematiske opdagelser, bl.a. Cantors arbejde inden for mængdelære med uendelige mængder og Gauss' erkendelse af, at Euklids bevis for det såkaldte parallelpostulat var problematisk, førte til nye måder at anskue matematikken på. Cantors arbejde med uendelige mængder viste sig at medføre en logisk modstrid, som gjorde det nødvendigt at omdefinere aksiom-begrebet, så det fra at udtrykke en absolut sandhed om virkeligheden i stedet blot skulle være fri for modsigelser og ikke længere nødvendigvis beskrive virkeligheden.Kjeldsen (2011), s. 43, 92 Gauss' arbejde med geometri førte til udvikling af den ikke-euklidiske geometri, hvor man fx godt kan have flere parallelle linjer gående gennem samme punkt og hvor vinkelsummen i en trekant ikke altid er 180 grader,Kjeldsen (2011), s. 11, 58 geometriske egenskaber som senere viste sig anvendelige i Einsteins relativitetsteori.Kjeldsen (2011), s. 68
Udspring, anvendelighed og skønhed
thumb|Kurveintegraler kan fx bruges til at beregne sværhedsgraden af ruten for et cykelløb. Matematik er i tidens løb udsprunget af en række forskellige praktiske problemer, såsom handel, landmåling, arkitektur og astronomi. I dag kan alle videnskaber fremvise problemstillinger, som kan løses ved hjælp af matematik, og den matematiske videnskab skaber også selv løbende nye sådanne problemstillinger. Det var f.eks. ved at kombinere fysisk forståelse med matematisk logik at fysikeren Richard Feynman indførte brugen af kurveintegraler inden for kvantemekanik. Strengteorien, som forsøger at give en samlet beskrivelse af universets opbygning vha de fire fundamentale naturkræfter, er på lignende vis en stadig inspirationskilde til ny matematisk indsigt.
Noget matematik har kun relevans inden for de områder, hvor den er udviklet, og her kan den bruges til at opnå større indsigt. Men ofte har matematisk indsigt udviklet inden for ét område vist sig anvendelig inden for andre områder. Man skelner her ofte mellem ren matematik og anvendt matematik, men erkendelser inden for den rene matematik viser sig ofte senere at kunne anvendes i praksis, som fx talteori inden for kryptografi.
Den kendsgerning at selv den 'reneste' matematik ofte har praktiske anvendelsesmuligheder har Eugene Wigner kaldt "matematikkens urimelige effektivitet". Som på andre områder har den megen ny videnskabelige indsigt den senere tid ført til en specialisering, så at matematik i dag kan opdeles i flere hundrede underdiscipliner. Inspireret af områder uden for matematikken har mange discipliner inden for anvendt matematik udviklet sig til selvstændige discipliner, såsom sandsynlighedsregning, statistik, operationsanalyse og datalogi.
For mange matematisk interesserede er der et aspekt af skønhed knyttet til matematik, og man beskriver faget med udtryk som elegance, æstetik og indre skønhed, foruden enkelhed og almengyldighed. Man finder skønhed i et enkelt og elegant bevis, som fx Euklis bevis for, at der er uendelig mange primtal, eller en snild metode til at øge hastigheden af udregninger, som fx Fast Fourier Transform. Matematikeren G. H. Hardy har udtrykt, at dette aspekt af skønhed i sig selv er nok til at retfærdiggøre studiet af ren matematik, en skønhed der bl.a. kan beskrives med ord som betydning, uforudsethed, uundgåelighed og økonomi.
Matematisk forskning søger ofte at afdække afgørende træk ved et matematisk objekt. Det videnskabelige trofæ man stræber efter er at kunne formulere en sætning, der karakteriserer objektet ud fra disse træk. Eksempler på særligt kortfattede og åbenbarende matematiske bevisførelser er samlet i bogen Proofs from THE BOOK.
Den popularitet, som underholdningsmatematik nyder, er et tegn på, at mange ynder at sysle for sjov med matematiske opgaver. Omvendt støder filosoffer stadig på problemer inden for matematikkens filosofi, fx vedrørende det matematiske bevis' væsen.
Notation, sprog og strenghed thumb|left|Leonhard Euler var ophavsmand til en stor del af vor tids matematiske notation.