thumb|Un ángulo positivo de 45° thumb|Ángulo de amplitud de 1 grado sexagesimal
En geometría euclidiana, un ángulo es la figura formada por dos semirrectas, llamadas lados, que comparten un punto final común, llamado vértice.
La medida de un ángulo es considerada como la amplitud del arco de circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados. Su medida es un múltiplo de la razón entre la longitud del arco y el radio. Su unidad natural es el radián, pero también se puede utilizar el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Ángulo también se utiliza para designar la medición de un ángulo o de una rotación. Esta medida es la relación entre la longitud de un arco circular y su radio. En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación, el arco está centrado en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación. Historia y etimología La palabra ángulo proviene del latín angŭlus, que significa 'esquina'. Está conectada con la raíz protoindoeuropea *ank-, que significa 'doblarse' o 'inclinarse'.
Euclides define un ángulo plano como la inclinación recíproca, en un plano, de dos rectas que se encuentran entre sí y no son rectas entre sí. Según Proclus, un ángulo debe ser una cualidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo, que consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto.
Definición y tipos de formas de clasificación
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
Forma geométrica: Se le llama «ángulo» a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo entorno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación entre dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Región angular
Se denomina región angular a cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.
Amplitud de un ángulo
Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.
Unidades de amplitud
thumb|Transportador de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son: Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
Grado sexagesimal
Grado centesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, graduador, etc.
Ángulos positivos y negativos Aunque la definición de la medida de un ángulo no respalda el concepto de ángulo negativo, con frecuencia es útil imponer una convención que permita que los valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y/o rotaciones en direcciones opuestas con respecto a alguna referencia.
En un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional, un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje positivo, mientras que el otro lado o lado terminal está definido por la medida del lado inicial en radianes, grados o vueltas. Con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje positivo y ángulos negativos que representan rotaciones hacia el eje negativo. Cuando las coordenadas cartesianas están representadas por la posición estándar, definida por el eje hacia la derecha y el eje hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido antihorario y las rotaciones negativas son en sentido horario.
En muchos contextos, un ángulo de es efectivamente equivalente a un ángulo de «una vuelta completa menos ». Por ejemplo, una orientación representada como es efectivamente equivalente a una orientación representada como , o . Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de no es lo mismo que una rotación de (por ejemplo, la rotación de una persona sosteniendo una escoba descansando sobre un piso polvoriento dejaría huellas visualmente diferentes de regiones barridas en el suelo).
En la geometría tridimensional, «en el sentido de las agujas del reloj» y «en el sentido contrario a las agujas del reloj» no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en relación con alguna referencia, que suele ser un vector que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en donde se encuentran los rayos del ángulo.
En la navegación, los rumbos o acimut se miden en relación con el norte. Por convención, visto desde arriba, los ángulos de orientación son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que una orientación de corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en la navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de .
Tipos de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones: thumb|Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
Tipo Descripción Ángulo nulo 120px Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, es decir, de 0°. Ángulo agudo 120px Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales). Ángulo recto 120px Un ángulo recto es de amplitud igual a rad.
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice. Ángulo obtuso 120px Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad.
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales). Ángulo llano 120px El ángulo llano tiene una amplitud de rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales). Ángulo oblicuo 120pxÁngulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos. Ángulo completoo perigonal 120px Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad.
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos coterminales
Se llama así a los ángulos que tienen el mismo lado final. Pueden ser en rotación contraria al ángulo dado o con una rotación mayor de 360°.
Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):
Tipo Descripción Ángulo convexoo saliente 120px Es el que mide menos de rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales). Ángulo cóncavo,reflejo o entrante 120px Es el que mide más de rad y menos de rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).
Ángulos relacionados
Denominación relativo a su posición: Los ángulos consecutivos son los que comparten un lado y el vértice. Los ángulos adyacentes son los que tienen un vértice y un lado común, y los otros lados son semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°. Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados son las semirrectas opuestas de los lados del otro.
Denominación en función de la suma de su amplitud: Los ángulos congruentes son aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo. Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°. También son denominados "complementarios por defecto". Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°. También son denominados "suplementarios por defecto". Los ángulos explementarios son aquellos cuya suma de medidas es 2π radianes o 360°.Denominación en función de la diferencia de su amplitud: Ángulos suplementarios por exceso son aquellos cuyas medidas se diferencian en π radianes o 180°.
Cuando dos rectas son cortadas por una tercera, se forman las siguientes relaciones distantes: thumb|Secante a dos rectas
Los ángulos alternos son aquellos ángulos dispuestos a distinto lado de la recta que corta otras dos paralelas, pero que no comparten lado.
o es alterno a o a
o es alterno a o a
y viceversa.
Los ángulos alternos internos son aquellos ángulos comprendidos entre las dos rectas cortadas, pero situados a distinto lado de la recta cortante.
es alterno interno a
es alterno interno a
Los ángulos alternos externos son aquellos ángulos no comprendidos entre las dos rectas cortadas, pero situados a distinto lado de la recta que corta.
es alterno externo a
es alterno externo a
Los ángulos correspondientes son los que están a un mismo lado de la transversal, uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes cuando las rectas cortadas son paralelas.
Los ángulos conjugados internos son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre las rectas paralelas. Son suplementarios cuando las rectas cortadas son paralelas.
Los ángulos conjugados externos son los que se encuentran del mismo lado de la secante y en la parte exterior de las rectas paralelas. Son suplementarios cuando las rectas cortadas son paralelas.
Ángulos compuestos
thumb|Dos ángulos contiguos forman un ángulo compuesto
Son los obtenidos mediante la suma o diferencia de ángulos. En la figura se representan dos sectores circulares contiguos, cada uno con su ángulo, denominados α y β respectivamente; la unión de los dos sectores tendrá por ángulo la composición, en este caso la suma, α + β, de los ángulos de los sectores que unimos.
Las razones trigonométricas de los ángulos compuestos están relacionadas con la de los ángulos componentes mediante las fórmulas de razones trigonométricas de ángulos compuestos, ver por ejemplo Identidades trigonométricas.
Ángulos de un polígono Ángulos internos y externos thumb|300px|right|Ángulos internos y externos. Un ángulo que forma parte de un polígono simple se llama ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple, siendo formado por lados adyacentes. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior que es un ángulo reflejo.