thumb|400px|Un ejemplo de cuaterna armónica (ADBC): se verifica que la razón doble [AC/AD*BD/BC=−1] ((6/2)·(-1/3)=-1)</center>
En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando
Como se explica más adelante, las cuaternas armónicas están íntimamente ligadas con las propiedades asociadas a las curvas cónicas y sus tangentes, así como a las relaciones entre las rectas que forman un cuadrángulo completo.
Propiedad fundamental: Las cuaternas armónicas de una figura poseen la propiedad de seguir siéndolo en las figuras obtenidas como proyección de la figura original.
Historia thumb|200px|Portada de APOLLONII PERGEI PHILOSOPHI, MATHEMATICIQUE EXCELLENTISSIMI, una reimpresión de la obra de Apolonio
Las cuaternas armónicas se conocen al menos desde . En la época del matemático griego Apolonio, este las incluyó en la proposición 34 del libro I de las Cónicas de Apolonio, relacionando las distancias entre: un punto exterior a una cónica; los dos puntos de corte generados en la cónica por una recta que pasa por su centro y el punto exterior dado; y la intersección con esta recta de la recta que pasa por las dos tangentes a la cónica desde el punto exterior. El desarrollo inicial de la geometría proyectiva por parte del matemático francés Girard Desargues (1591-1661) en , se vio culminado en el por la formulación rigurosa de las propiedades de esta rama de la matemática.
En este contexto, las cuaternas armónicas tuvieron un papel relevante, por cuanto intervinieron en la definición de la relación de proyectividad: Según Michel Chasles (1793-1880), dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas anarmónicamente (es decir, basta que se conserven las razones dobles entre cuaternas de puntos correspondientes de las dos figuras, pero no tienen por qué valer -1). Según Karl von Staudt (1798-1867), dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónicamente (es decir, deben conservarse las cuaternas armónicas de una figura en la otra).Fue Karl von Staudt el primero que usó el conjugado armónico como base para la geometría proyectiva independientemente de las consideraciones métricas:
... Staudt logró liberar la geometría proyectiva de la geometría elemental. En su Geometrie der Lage Staudt introdujo una cuaterna armónica de elementos independientemente del concepto de razón doble siguiendo una ruta puramente proyectiva, utilizando un cuadrángulo completo o un cuadrilátero. (B.L. Laptev & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry, page 41, Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2) Según Jean-Victor Poncelet (1788-1867), para que dos figuras sean proyectivas entre sí, basta con que pueda obtenerse una de la otra por medio de una secuencia finita de proyecciones y secciones. Posteriormente se demostró que las tres definiciones son equivalentes, de forma que se puede afirmar que dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónica o inarmónicamente o puede deducirse la una de la otra por proyecciones y secciones.
En el , siguiendo la senda abierta por Staudt, matemáticos como John Wesley Young (1879-1932)Para ver el cuadrángulo completo aplicado para obtener el punto medio, considérese el siguiente texto de J. W. Young:
Si dos rectas arbitrarias AQ y AS se dibujan a través de A y las rectas BS y BQ se dibujan a través de B paralelas a AQ y AS respectivamente, las líneas AQ y SB se encuentran, por definición, en un punto R en el infinito, mientras que AS y QB se encuentran por definición en un punto P del infinito. El cuadrilátero completo PQRS tiene dos puntos diagonales en A y B, mientras que el par restante de lados opuestos pasa por M y por el punto del infinito sobre AB. El punto M es entonces por construcción el conjugado armónico del punto del infinito en AB con respecto a A y B. Por otro lado, dado que M es el punto medio del segmento AB, se sigue la proposición familiar de que las diagonales de un paralelogramo (PQRS) se bisecan entre sí. (John Wesley Young (1930) Projective Geometry, page 85, Mathematical Association of America, Chicago: Open Court Publishing) o Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003)Para Coxeter, basado en cuatro puntos, el cuadrángulo completo tiene pares de lados opuestos y diagonales. En la expresión de los conjugados armónicos según este concepto, las diagonales se consideran un par de lados opuestos: D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B, lo que significa que hay un cuadrángulo IJKL tal que un par de lados opuestos se cruzan en A, y un segundo par de lados en B, mientras que el tercer par se encuentra con AB en C y D. (H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, page 29, University of Toronto Press) completaron las definiciones existentes, dando otro enfoque a la idea de conjugado armónico a través del concepto de un cuadrángulo completo.
Propiedades generales thumb|right|300px|El punto D es el conjugado armónico de C respecto al par de puntos A y B. Se dice que A, D, B, C forman una cuaterna armónica. KLMN es el cuadrilátero completo que la genera.
El punto armónico conjugado de una terna ordenada de puntos en la recta proyectiva real se puede definir mediante la siguiente construcción:R. L. Goodstein & E. J. F. Primrose (1953) Axiomatic Projective Geometry, University College Leicester (publisher). This text follows geometría sintética. Harmonic construction on page 11 (Véase más adelante:Construcciones gráficas de una cuaterna armónica)
Dados tres puntos colineales A, B y C, se va determinar el punto D, que completa la cuaterna armónica del punto C respecto al segmento AB: Se toma un punto cualquiera L que no se encuentre en la recta AC. Se trazan los segmentos LA y LB. Se traza un segmento cualquiera desde C, que corte a LA y LB (en los puntos M y N respectivamente). Se trazan los segmentos AN y BM , que se cortan en K. La prolongación del segmento LK hasta cortar el segmento AC, determina el punto D, denominado el conjugado armónico de C con respecto a A y B.
La posición del punto D no depende de qué punto se tome inicialmente como L, ni de qué línea se trace desde C para obtener M y N. Este hecho se deduce del Teorema de Desargues.
En la geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la razón doble como .
La construcción es reversible, de forma que si se conociera D (situado dentro de AB) en vez de C (situado fuera de AB), bastaría elegir como antes un punto L, pero ahora unirlo con A, D y B. A continuación, bastaría con lanzar un segmento cualquiera desde A que cortase a LD en K y a LB en N. Seguidamente, se prolonga el segmento BK hasta cortar el segmento LA en M. El corte de la recta MN con la recta AB, determina la posición del punto buscado C.
Criterio de la razón doble Los cuatro puntos a veces se denominan un rango armónico (sobre la línea proyectiva real), ya que se verifica que D siempre divide al segmento AB internamente en la misma proporción que C divide AB externamente. Es decir:
Si a estos segmentos se les dota de la interpretación métrica ordinaria de los números reales, tendrán su signo (positivo o negativo) y formarán una doble proporción, conocida como razón doble (o a veces también como razón cruzada):
por lo que las distancias de una cuaterna armónica de puntos se caracterizan por un valor de −1. En consecuencia, se establece que:
En general, el valor de una razón doble no es único, ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular, hay solo tres valores de la razón doble: ya que −1 es autoinverso, por lo que al intercambiar los dos últimos puntos se obtienen cada uno de estos valores, pero no se produce ningún valor nuevo, y se conoce clásicamente como proporción armónica.
Cada uno de los dos términos de una razón doble, está formado por una razón simple:Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 7 dados los puntos y en una línea afín, la razón simple de un punto viene dada por
Téngase en cuenta que cuando , entonces es negativo; y que es positivo cuando queda fuera del intervalo.
La expresión es una relación entre razones simples, lo que constituye una razón doble.
Si la razón doble vale 1, esto significa que , y por lo tanto, y son conjugados armónicos con respecto al segmento . En consecuencia, ambas razones simples deben ser iguales, y sus signos opuestos.
La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición de la circunferencia de Apolonio.
En algunos textos escolares, la determinación de una cuaterna armónica se denomina "división armónica".
Conjugado del punto medio right|thumb|150px|El punto medio de un segmento y el infinito son conjugados armónicos.
Cuando es el punto medio del segmento , entonces
Por el criterio de la razón doble, el conjugado armónico de será cuando . Pero no hay una solución finita para en la recta que pasa a través de . Sin embargo,
lo que motiva la inclusión de un punto del infinito en la línea proyectiva. Este punto del infinito sirve como el conjugado armónico del punto medio de un segmento .
Propiedades geométricas Sus propiedades más importantes, deducidas analíticamente, son: En toda cuaterna de razón doble -1, el primer par de puntos separa o divide armónicamente al segundo par (esto implica que un punto del segundo par está dentro del primer par, y que el otro queda fuera). Si dos puntos y separan o dividen armónicamente a dos puntos y , estos también dividen armónicamente a aquellos. Si dos puntos y separan o dividen armónicamente a dos puntos y , el semisegmento determinado por el primer par de puntos, es la media proporcional entre los segmentos y . En consecuencia, . Análogamente, si se verifica esta condición, y son conjugados armónicos de y . (Relación de Newton) El conjugado armónico del punto del infinito respecto a dos puntos y es el punto medio del segmento . Las cuaternas formadas por cuatro puntos conjugados armónicos, solo tienen tres valores posibles: , y (es decir, si , entonces las razones dobles de las cuaternas o -o en cualquier otro orden que se dispongan- valen , o ).
Propiedades aritméticas Cálculo de cuaternas por ordenador Las fórmulas para calcular la longitud del segmento cuando se conocen las ordenadas del segmento y del tercer punto de la cuaterna , vienen dadas por las fórmulas: , si el denominador es ( está a la derecha de ) , si el denominador es ( está a la izquierda de ) Fórmula explícita directa: Si se parte de los valores numéricos de las posiciones de los puntos sobre la recta , se tiene que siendo conocidos tres de ellos , el cuarto valor se obtiene por la expresión explícita:
Cuando el denominador , entonces . Fórmula explícita indirecta: Otra forma de obtener es mediante el cálculo de resultados intermedios auxiliares: Sean y . Entonces, En este caso, la fórmula se vale de la relación de polaridad entre y respecto a la circunferencia que pasa por y y con centro en su punto medio.
Fórmula uniforme Si se introduce el segmento en el eje de coordenadas de modo que , entonces se obtiene la fórmula uniforme:
Ejemplos de cuaternas armónicas:
Relación con la media armónica de dos números La fórmula uniforme (que relaciona las cantidades armónicas y respecto al segmento ), también se puede expresar la manera siguiente:
De aquí se deduce que la media armónica de las dos coordenadas de una cuaterna uniforme, es igual a 1.
Otras relaciones También se prueba fácilmente. que una secuencia de cuatro puntos alineados está en división armónica si y solo si se verifican las relaciones siguientes:
Relación de Newton: , donde es el punto medio de ; Relación de Mac-Laurin: , donde es el punto medio de .
Generalización
Se tiene que: