La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al antiguo matemático griego Euclides, que describió en su libro de texto sobre geometría: Los Elementos. El enfoque de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas (postulados) intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones (teoremas) a partir de ellos. Aunque muchos de los resultados de Euclides se habían expuesto anteriormente, Euclides fue el primero en organizar estas proposiciones en un sistema lógico en el que cada resultado se prueba a partir de axiomas y teoremas previamente probados, aunque, durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido otro tipo de geometría. miniatura|Detalle de La escuela de Atenas de Rafael que muestra a un matemático griego, quizás representando a Euclides o Arquímedes, usando un compás para dibujar una construcción geométrica.

La geometría euclidiana, euclídea o parabólicaSiguiendo la analogía de las cónicas, una parábola es el caso límite entre una elipse y una hipérbola; en el mismo sentido que la geometría parabólica o euclidiana es el caso límite entre la geometría elíptica y la geometría hiperbólica es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica.

También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Esta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma, los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas) que cualquier teorema demostrado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico.

Hoy, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías no euclidianas auto-consistentes, las primeras se descubrieron a principios del . Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí mismo no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitatorio).

Los Elementos comienza con la geometría plana, que aún se enseña en la escuela secundaria (bachillerato) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas y geometría sólida de tres dimensiones. Gran parte de los Elementos establece los resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números, explicados en lenguaje geométrico.

La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética, ya que procede lógicamente de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos, como puntos y líneas, a proposiciones sobre esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica, introducida casi 2000 años después por René Descartes, que usa coordenadas para expresar propiedades geométricas como fórmulas algebraicas.miniatura|Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Egipto).

Interpretaciones Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—. Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto y preciso (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»). Según la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Felix Klein), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclídeo (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.Hay que indicar que se puede dotar a un mismo espacio vectorial real de distintos productos escalares, así que, incluso con esta acepción, existe una enorme ambigüedad, al no quedar claro ni la dimensión del espacio (en principio cualquier dimensión finita) ni el producto a escalar al que nos referimos. Este término puede permitir que cosas que no se parecen en nada a lo que entendemos por geometría euclidiana pueda llamarse precisamente geometría euclidiana.

Geometría del plano euclídeo La geometría plana o geometría del plano euclídeo es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano euclídeo. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Desde un punto de vista más general, el plano euclídeo se caracteriza por ser una variedad riemanniana de dimensión dos de curvatura nula y simplemente conexa.

Los elementos Los Elementos es principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Rápidamente se reconoció su mejora con respecto a los tratamientos anteriores, con el resultado de que hubo poco interés en conservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos. Hay 13 libros en los Elementos:

Los libros I–IV y VI: Estos analizan la geometría plana. Se prueban muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos". (Libro I proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47).

Los libros V y VII-X: Tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones de superficie. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales. Se demuestra que hay infinitos números primos.

Los libros XI–XIII: se refieren a la geometría sólida. Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos.

Axiomas miniatura|Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley. La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el que todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un pequeño número de axiomas.Las hipótesis de Euclides se analizan desde una perspectiva moderna en Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Euclides plantea cinco nociones comunes: Dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí.(la propiedad transitiva de una relación euclidiana). Si a cosas iguales añadimos cosas iguales, las totales son iguales.(La propiedad de la suma de la igualdad). Si a cosas iguales quitamos cosas iguales, los restos son iguales.(Propiedad de igualdad de la resta). Las cosas que se superponen son iguales.(propiedad reflexiva). El todo es mayor que la parte.

Los eruditos modernos están de acuerdo en que los postulados de Euclides no brindan la base lógica completa que Euclides requería para su presentación, eso se debe a que Euclides usó implícitamente algunas nociones adicionales que consideraba intuitivas (pero no se definían rigurosamente). Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más extensos y completos. Desde el , se hicieron esfuerzos por definir explícitamente todas las asunciones necesarias para desarrollar rigurosamente la geometría sin supuestos implícitos.

Una de las formulaciones más conocidas es la que daría David Hilbert en 1899 en su obra Grundlagen der Geometrie ('Fundamentos de geometría'), en ella incluyó 21 axiomas divididos en cinco grupos: axiomas de incidencia (3 axiomas), axiomas de interrelación u orden (4 axiomas), axiomas de congruencia (6 axiomas), axiomas de continuidad y un axioma de paralelismo. Posteriormente se vio que uno de los axiomas de Hilbert era redundante, por lo que en realidad bastaban 20 axiomas para desarrollar toda la geometría euclídea. A partir de los axiomas de Hilbert sí se puede desarrollar explícitamente toda la geometría euclídea sin supuestos adicionales. La formulación de Hilbert incluye como primitivos las nociones de are punto, línea, incidencia (punto sobre una línea), interrelación (relación entre tres puntos) y congruencia. Además esta axiomatización no asume que el plano euclídeo sea o el espacio euclídeo sea ..

Postulados

Los postulados establecen condiciones de la existencia de ciertos objetos geométricos. Son propiedades simples que se pueden tomar como la base de las demás y se aceptan sin demostración.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema: Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. Todos los ángulos rectos son congruentes. Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están dichos ángulos (ver quinto postulado de Euclides). miniatura|El postulado de las paralelas (Postulado 5): Si dos rectas intersecan a una tercera de tal manera que la suma de los ángulos internos de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas inevitablemente deben intersecarse en ese lado si se extienden mucho. suficiente. Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como: 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Para los antiguos, el postulado de las paralelas parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas y, para ellos, parecía como si el postulado de la línea paralela requiriera una demostración a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal demostración es imposible, ya que se pueden construir sistemas de geometría consistentes (obedeciendo los otros axiomas) en los que el postulado de las paralelas es verdadero y otros en los que es falso. El mismo Euclides parece haberlo considerado como cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos, sus primeras 28 proposiciones son las que pueden probarse sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que son lógicamente equivalentes al postulado paralelo (en el contexto de los otros axiomas). Y de esto muchos geómetras intentaron deducirlo de los anteriores. Se pueden diferenciar entre varios ejemplos, pero ahora lo haremos con tres, en los que caben dos que intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgiendo dos nuevas geometrías, y un axioma equivalente:

Geometría elíptica: La elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada).