Este artículo trata sobre la topología débil en un espacio vectorial normado. Para la topología débil inducida por una familia general de aplicaciones, véase topología inicial. Para la topología débil generada por una cobertura de un espacio, véase topología coherente.
En matemáticas, topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales, a menudo asociadas a espacios vectoriales topológicos o a espacios de aplicaciones lineales, como por ejemplo en un espacio de Hilbert. El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normado) con respecto a su dual continuo. El resto de este artículo abordará este caso, que es uno de los conceptos propios del análisis funcional.
Se pueden llamar subconjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrados (respectivamente, débilmente compactos, etc.) si son cerrados (respectivamente, compactos, etc.) con respecto a la topología débil. Del mismo modo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables, débilmente analíticas, etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables, analíticas, etc.) con respecto a la topología débil.
Historia
A principios del , David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un uso extensivo de la convergencia débil. Los primeros pioneros del análisis funcional no elevaron la convergencia de normas por encima de la convergencia débil y, a menudo, consideraron que la convergencia débil era preferible. En 1929, Banach introdujo la convergencia débil para espacios normados y también introdujo la convergencia *débil análoga. La topología débil también se llama en francés y en alemán.
Las topologías débil y fuerte
Sea un cuerpo topológico, es decir, un cuerpo con una topología tal que la suma, la multiplicación y la división sean continuas. En la mayoría de las aplicaciones, será el cuerpo de los números complejos o el campo de los números reales con las topologías usuales.
Topología débil con respecto a un emparejamiento
Tanto la topología débil como la topología *débil son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos, que se describen a continuación. El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado demostrado se aplica tanto a la topología débil como a la topología *débil, lo que hace redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones. Esta es también la razón por la que la topología *débil también se denomina frecuentemente "topología débil", debido a que es solo un ejemplo de la topología débil en el marco de esta construcción más general.
Supóngase que es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre un campo topológico (es decir, y son espacios vectoriales sobre y es un operador bilineal).
Notación. Para todo , denótese como la función lineal en definida por . De manera similar, para todo , defínase por .
Definición. La topología débil en inducida por (y ) es la topología más débil en , indicada por o simplemente , lo que hace que todas las aplicaciones sean continuas, como rangos de sobre .
La topología débil en ahora se define automáticamente como se describe en el artículo sistema dual. Sin embargo, para mayor claridad, se define a continuación.
Definición. La topología débil en inducida por (y ) es la topología más débil en , indicada por o simplemente , lo que hace que todas las aplicaciones sean continuas, como rangos de sobre .
Si el cuerpo tiene un valor absoluto , entonces la topología débil en es inducida por la familia de seminormas, , definida por
para todos los y . Esto muestra que las topologías débiles son localmente convexas.
Supuesto. De ahora en adelante se asume que es el cuerpo de los números reales o el de los números complejos .
Dualidad canónica
Ahora considérese el caso especial donde es un subespacio vectorial del espacio dual de (es decir, un espacio vectorial de funcionales lineales en ).
Existe un par, denotado por o , llamado emparejado canónico cuya aplicación bilineal es la aplicación de evaluación canónica, definida por para todos los y . Téngase en cuenta en particular que es solo otra forma de indicar , es decir, .
Supuesto. Si es un subespacio vectorial del espacio dual de , entonces se asume que están asociados con el emparejamiento canónico .
En este caso, la topología débil en (respectivamente, la topología débil en ), denotada por (respectivamente, por ) es la topología débil en (respectivamente, en ) con respecto al emparejamiento canónico .
La topología es la topología inicial de con respecto a .
Si es un espacio vectorial de funcionales lineales en , entonces el dual continuo de con respecto a la topología es precisamente igual a .
Las topologías débil y *débil
Sea un espacio vectorial topológico (EVT) sobre , es decir, es un espacio vectorial equipado con una topología de modo que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean continuos. Se recurre a la topología sobre original o topología dada (se advierte al lector contra el uso de los términos "topología inicial" y "topología fuerte" para hacer referencia a la topología original, ya que estos ya tienen significados bien conocidos, por lo que usarlos puede causar confusión). Se puede definir una topología que puede ser diferente en utilizando el espacio dual topológico o , que consta de todos los funcionales lineales desde al cuerpo base que son continuos con respecto a la topología dada.
Debe recordarse que es la aplicación de evaluación canónica definida por para todos los y , donde en particular .
Definición. La topología débil en es la topología débil en con respecto al emparajamiento canónico . Es decir, es la topología más débil en , lo que hace que todas las aplicaciones sean continuas, ya que abarca a .
Definición: la topología débil en es la topología débil en con respecto al emparejamiento canónico . Es decir, es la topología más débil en , lo que hace que todas las aplicaciones sean continuas, ya que abarca a . Esta topología también se denomina topología *débil.
A continuación se dan definiciones alternativas.
Topología débil inducida por el espacio dual continuo
Alternativamente, la topología débil en un EVT es la topología inicial con respecto a la familia . En otras palabras, es la topología más gruesa en X tal que cada elemento de sigue siendo una función continua.
Una subbase para la topología débil es la colección de conjuntos de la forma , donde y son un subconjunto abierto del cuerpo base . En otras palabras, un subconjunto de es abierto en la topología débil si y solo si puede escribirse como una unión (que puede ser infinita) de conjuntos, cada uno de los cuales es una intersección de un número finito de conjuntos de la forma .
Desde este punto de vista, la topología débil es la topología polar más gruesa.
Convergencia débil
La topología débil se caracteriza por la siguiente condición: una red en converge en la topología débil al elemento de si y solo si converge a en o para todos los .
En particular, si es una sucesión en , entonces converge débilmente con si
cuando para todos los . En este caso, se acostumbra escribir
o algunas veces,
Otras propiedades
Si está equipado con una topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas, y es un espacio vectorial topológico localmente convexo.
Si es un espacio normado, entonces el espacio dual es en sí mismo un espacio vectorial normado utilizando la norma
Esta norma da lugar a una topología, denominada topología fuerte, en , que es la topología de convergencia uniforme. Las topologías uniformes y fuertes son generalmente diferentes para otros espacios de aplicaciones lineales (véase más abajo).
Topología *débil
La topología *débil es un ejemplo importante de topología polar.
Un espacio se puede encajar en su doble dual X** mediante
Por lo tanto, es una aplicación lineal inyectiva, aunque no necesariamente sobreyectiva (los espacios para los cuales este embebido canónico es sobreyectivo se denominan reflexivos). La topología *débil en es la topología débil inducida por la imagen de . En otras palabras, es la topología más gruesa tal que las aplicaciones Tx, definidas por desde hasta el cuerpo base o permanecen continuas.
Convergencia *débil
Una red en es convergente a en la topología *débil si converge puntualmente:
para todos los . En particular, una sucesión de converge a siempre que
para todos los . En este caso, se escribe
cuando .
La convergencia *débil a veces se denomina convergencia simple o convergencia puntual. De hecho, coincide con la convergencia puntual de funcionales lineales.
Propiedades
Si es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso numerable) y H es un subconjunto acotado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado con la topología *débil (del subespacio) es un espacio topológico metrizable. Sin embargo, para espacios de dimensión infinita, la métrica no puede ser invariante respecto a la traslación. Si es un espacio metrizable localmente convexo separable, entonces la topología *débil en el espacio dual continuo de es separable.
Propiedades en espacios normados
Por definición, la topología *débil es más débil que la topología débil en . Un hecho importante acerca de la topología *débil es el teorema de Banach-Alaoglu: si está normado, entonces la bola unitaria cerrada en es *débilmente compacta (de manera más general, el polar en de un entorno de 0 en es *débilmente compacto). Además, la bola unitaria cerrada en un espacio normado es compacta en la topología débil si y solo si es reflexivo.
En términos más generales, sea un cuerpo valorado localmente compacto (por ejemplo, los números reales, los números complejos o cualquiera de los sistemas numéricos p-ádicos). Sea un espacio vectorial topológico normado sobre , compatible con el valor absoluto en . Entonces, en (el espacio topológico dual de de los funcionales lineales continuos con valores en ), todas las bolas de norma cerrada son compactas en la topología *débil.
Si es un espacio normado, se cumple una versión del teorema de Heine-Borel. En particular, un subconjunto del dual continuo es *débil compacto si y solo si es *débil cerrado y acotado por normas. Esto implica, en particular, que cuando es un espacio normado de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada en el origen en el espacio dual de no contiene ningún entorno de 0 *débil (ya que cualquiera de estas vecindades es ilimitada en cuanto a normas). Por lo tanto, aunque las bolas de norma cerrada son compactas, X* no es localmente compacto *débil.
Si es un espacio normado, entonces es separable si y solo si la topología *débil en la bola unitaria cerrada de es metrizable, en cuyo caso la topología *débil es metrizable en subconjuntos acotados por normas de . Si un espacio normado tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología de la norma dual), entonces es necesariamente separable. Si es un espacio de Banach, la topología *débil no es metrizable en todo a menos que sea de dimensión finita.Proposition 2.6.12, p. 226 in .
Ejemplos
Espacios de Hilbert
Considérese, por ejemplo, la diferencia entre convergencia fuerte y débil de funciones en un espacio de Hilbert . La convergencia fuerte de una sucesión con un elemento significa que
cuando . Aquí, la noción de convergencia corresponde a la norma en .
Por el contrario, una convergencia débil solo exige que
para todas las funciones (o, más típicamente, todas las f en un conjunto denso de , como un espacio de funciones de prueba, si la sucesión {ψk} está acotada). Para funciones de prueba dadas, la noción relevante de convergencia solo corresponde a la topología utilizada en .
Por ejemplo, en el espacio de Hilbert , la sucesión de funciones