miniatura|derecha|Cálculo mental. En la escuela pública S. A. Rachinski, cuadro de Nikolái Bogdanov-Belski de 1895 en el que unos niños tratan de calcular mentalmente el resultado de la expresión en la pizarra, .
El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando solo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel o los dedos para contar fácilmente. El cálculo mental a menudo implica el uso de técnicas específicas diseñadas para tipos particulares de problemas.
Las personas con una capacidad inusualmente alta para realizar cálculos mentales se denominan calculistas mentales. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 5 o más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas. Igualmente, los grandes calculistas no son los de mejor memoria, dado que las técnicas del cálculo mental y las de potenciación de la memoria son diferentes. Los campeones del mundo y los que figuran el libro Guiness de los récords de ambas especialidades (cálculo y memoria) suelen ser siempre diferentes. miniaturadeimagen|Recursos de apoyo La práctica del cálculo mental implica poner en juego diversas estrategias. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del sentido numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración, además de gusto por las matemáticas. Su enseñanza es obligatoria en la mayoría de los sistemas de educación.
Estrategias Sumas y restas Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.
En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto y Jorge Arturo Mendoza Huertas proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya acarreos.
Ejemplos: Calcular 456 + 155: 456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de derecha a izquierda) 455 + 5 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera) 456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha) Calcular 876 - 98: 876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda) 876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876-100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100)) 876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha) Calcular 634-256: 634-256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha) miniaturadeimagen|Tablas de multiplicar
Multiplicaciones y divisiones Duplicación y mediación
Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.
Ejemplo: multiplicar 173 × 16: Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.
La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar
Ejemplo: multiplicar 376 × 125 Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2. 376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000. 324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.
Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con soltura.
También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc.
Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10 Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1 (o más 1), se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10n veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, unidades con decenas.
Ejemplo: multiplicar 28 × 99 28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772
Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121 121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477
Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así:
Multiplicar: 12345 × 11 : 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora colocar en orden inverso : 135795 8946 × 11 : 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso : 98406
Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.
Multiplicación por 37 Primero, basta recordar lo siguiente: 37 × 3 = 111 37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1 El procedimiento es este: Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar 74. Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94 : 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31. Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 - 1) y el resto por 111. En el ejemplo anterior, 31 : 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37. Se suma todo. 3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 = 3478. Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 o 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q + 1) + R' (donde R' = -2 o -1, respectivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo).
Más ejemplos: 37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998 37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 2923 37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 = 2923 Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese múltiplo de 27.
Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por ejemplo con los siguientes cuadrados: 74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 - 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476 111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321 (en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo) 148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 - 74 = 21904
Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No solo el producto de este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy sencilla, ya que en la cadena 142857142857... basta con tomar seis dígitos consecutivos a partir de una posición dada: 142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142 Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!): 142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449
Igualdades notables y cálculo de cuadrados Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b) (a - b) = a² - b²
Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos. Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2. (50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704 Más ejemplos: 17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289 76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776 95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025
Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra entera y una decimal, solo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra: 2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 24² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 + 16) = 0,01 × 576 = 5,76 Algoritmo para elevar al cuadrado un número de dos cifras que empieza con 4: (4*10+u)^2 = (15+u) || (10-u)^2 (donde || indica concatenación matemática o unión de cifras) Ejemplo: Para 47^2 tenemos (15+7)=22 y (10-7)^2 = 09 y así 47^2 =2209, y además 47^2= 40x40 + 40x7x2 + 7x7 = 1600 + 560 + 49 = 2209.
Algoritmo idem, para los que empieza con 5.- (5*10+u)^2 =(25+u) || u^2; Ejemplo: para 53^2 tenemos (25+3)=28 y 3^2 =09 por lo cual 53^2=2809
Algoritmo idem, para los que empiezan con 9.- (9*10+u)^2= (80+2u)||(10-u)^2; Ejemplo: para 96^2 tenemos (80+2*6)=92 y(10-6)^2= 16 así 96^2= 9216
Algoritmo idem, para los de tres cifras que empieza con 10.- (10*10+u)^2= (100+2u)|| u^2; Ejemplo 108^2= (100+2*8)=116 y8^2 =64, por lo que 108^2=11664
Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por lo que pueden utilizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un número de cuatro cifras o más. Esto solo se consigue tras mucho entrenamiento, pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar: 5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 + 6724 = 33.431.524
Producto de dos números equidistantes de un número cuyo cuadrado es conocido El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2. (60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596 Más ejemplos: 77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391 95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975 128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456
Cuadrado de un número acabado en 5 El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b = 5: (a + 5) (a - 5) = a² - 25 Por tanto, se tiene que: (a + 5) (a - 5) + 25 = a² Si a = 65, el resultado es el siguiente: