thumb|Simulación del movimiento browniano que realiza una partícula de polvo que colisiona con un gran conjunto de partículas de menor tamaño (moléculas de gas) las cuales se mueven con diferentes velocidades en direcciones aleatorias thumb|Simulación del movimiento browniano de 5 partículas (amarillas) que colisionan con un gran conjunto de 800 partículas. Las partículas amarillas dejan 5 rastros azules de movimiento aleatorio y uno de ellos tiene un vector de velocidad rojo. right thumb|Tres vistas diferentes del movimiento browniano, con 32 pasos, 256 pasos y 2048 pasos marcados con colores más claros progresivamente thumb|Una simple realización de un movimiento browniano tridimensional para tiempos 0 ≤ t ≤ 2
El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en las partículas que se hallan en un medio fluido (líquido o gas), como resultado de choques contra las moléculas de dicho fluido.
Este fenómeno de transporte recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown, biólogo y botánico. En 1827, mientras miraba a través de un microscopio a las partículas atrapadas en las cavidades dentro de un grano de polen en el agua, señaló que las partículas se movían a través del líquido; pero no fue capaz de determinar los mecanismos que provocaron este movimiento. Los átomos y las moléculas habían sido teorizadas como componentes de la materia, y Albert Einstein publicó un artículo en 1905, considerado por él como el Annus Mirabilis ("año maravilloso", en latín) donde explicó con todo detalle cómo el movimiento que Brown había observado era el resultado de las micropartículas siendo movidas por moléculas de agua individuales. Esta explicación sirvió como prueba convincente de que existen los átomos y moléculas, y fue verificado experimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1926 por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia (Einstein había recibido el premio cinco años antes por sus servicios a la física teórica con especial mención a la ley del efecto fotoeléctrico). La dirección de la fuerza de bombardeo atómico está cambiando constantemente y, en cada momento, la partícula es golpeada más en un lado que en otro, lo que lleva a la naturaleza aleatoria del movimiento.
El movimiento browniano se encuentra entre los procesos estocásticos más simples, y es afín a otros dos procesos estocásticos más simples y complejos: el camino aleatorio y el teorema de Donsker. Esta universalidad está estrechamente relacionada con la universalidad de la distribución normal. En ambos casos, a menudo es la conveniencia matemática, más que exactitud de los modelos, lo que lleva al uso de la distribución normal.
Tanto la difusión como la ósmosis se basan en el movimiento browniano.
Historia
thumb|left| Reproducido del libro de Jean Baptiste Perrin, Les Atomes, tres rastros del movimiento de partículas coloidales de radio 0.53µm como se ve en el microscopio, se muestran. Las posiciones sucesivas cada 30 segundos se unen mediante segmentos de línea recta (el tamaño de la malla es de 3,2µm).Perrin, 1914, p. 115.
El poema científico Sobre la Naturaleza de las cosas, del romano Lucrecio (60 a. C.), incluye la notable descripción del movimiento browniano de partículas de polvo desde los versos 113 hasta el 140. El autor presentó este hecho como prueba de la existencia de los átomos:
Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de partículas de carbón pulverizadas en la superficie del alcohol en 1785. No obstante, el descubrimiento del movimiento browniano se atribuye tradicionalmente al botánico Robert Brown en 1827. Se cree que Brown estuvo estudiando al microscopio partículas de polen de la planta Clarkia pulchella flotando en el agua. Dentro de las vacuolas de los granos de polen observó diminutas partículas con movimientos nerviosos. Al repetir el experimento con partículas de polvo, concluyó que el movimiento no se debía a que las partículas de polen estuvieran "vivas", aunque no explicó el origen del movimiento.
El primero en describir matemáticamente el movimiento browniano fue Thorvald N. Thiele en 1880, en un documento sobre el método de los mínimos cuadrados. Fue seguido independientemente por Louis Bachelier en 1900, en su tesis doctoral La teoría de la especulación, en la que se presenta un análisis estocástico de acción y opción de mercados. El modelo del movimiento browniano de las acciones de mercado es citado frecuentemente, pero Benoit Mandelbrot rechazó su aplicación al movimiento de los precios de las acciones, en parte porque son discontinuos.
Sin embargo, fue el estudio independiente de Albert Einstein en su artículo de 1905 (Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sobre el movimiento postulado por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario) en el que mostró la solución a los físicos, como una forma indirecta de confirmar la existencia de átomos y moléculas.
En esa época la naturaleza atómica de la materia aún era una idea controvertida. Einstein y Marian Smoluchowski dedujeron que, si los componentes de la ecuación de flujos incompresibles del principio de Bernoulli era correcto, entonces las moléculas de agua tendrían movimientos aleatorios. Por lo tanto, las partículas pequeñas podrían recibir un número aleatorio de impactos, de fuerza aleatoria y de direcciones aleatorias, en cortos períodos de tiempo. Este bombardeo aleatorio por las moléculas del fluido podría ser suficiente para que las partículas pequeñas se moviesen de la manera exacta que Brown había descrito. Theodor Svedberg hizo importantes demostraciones del movimiento browniano en coloides, así como Felix Ehrenhaft lo hizo con partículas de plata en la atmósfera terrestre. Jean Perrin también realizó experimentos para verificar los modelos matemáticos, y al publicar sus resultados finales se puso fin a dos mil años de disputa sobre la realidad de las moléculas y los átomos.
Teoría de Einstein
Hay dos partes en la teoría de Albert Einstein: la primera parte consiste en la formulación de una ecuación de difusión de partículas brownianas, en el que el coeficiente de difusión está relacionada con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana, mientras que la segunda parte relaciona el coeficiente de difusión de las magnitudes físicas medibles. De esta manera Einstein fue capaz de determinar el tamaño de los átomos, y el número de átomos que hay en un mol, o el peso molecular (en gramos), de un gas. De acuerdo con la ley de Avogadro, este volumen es el mismo para todos los gases ideales, que es 22,414 litros a temperatura y presión estándar. El número de átomos contenidos en este volumen se conoce como número de Avogadro, y la determinación de este número es equivalente al conocimiento de la masa de un átomo, dado que esta última se obtiene dividiendo la masa de un mol de gas por el número de Avogadro.
thumb|300px|Las curvas características en forma de campana de la difusión de partículas brownianas. La distribución comienza como una función delta de Dirac, lo que indica que todas las partículas se encuentran en el origen con tiempo t = 0, y por el aumento de los tiempos se vuelven cada vez más y más planos hasta que se convierte en la distribución uniforme en el límite de tiempo asintótico.
La primera parte del razonamiento de Einstein fue determinar cuánto viaja una partícula browniana en un intervalo de tiempo dado. Una partícula browniana sufre del orden de 1014 colisiones por segundo. Esto llevó a considerar a Einstein el movimiento colectivo de las partículas brownianas.
Consideró el incremento en la coordenada x de la partícula como una variable aleatoria (x o , en virtud de la transformación de coordenadas que lleva el origen a la posición inicial de la partícula), con función de densidad de probabilidad . Además, suponiendo conservación del número de partículas, desarrolló la densidad (número de partículas por unidad de volumen) en serie de Taylor:
En la última expresión la primera integral es 1 por la normalización de la probabilidad y la segunda integral (y todas las de la misma forma en las que esté elevada a un exponente impar) se anula por la simetría de . Queda entonces
De la comparación de términos se obtiene la siguiente relación:
Se puede demostrar que cuando y tienden a 0 el cociente que hay en la última integral tiende a un límite, lo que permite definir el coeficiente de difusión D :
La densidad de las partículas brownianas satisface la ecuación de difusión:
Suponiendo que N partículas empiezan desde el origen en el tiempo inicial t = 0, la ecuación de difusión tiene la solución
que es una distribución normal de media y varianza . La varianza es el desplazamiento cuadrático medio, . Al tomar su raíz cuadrada se observa que el desplazamiento de una partícula browniana no es proporcional al tiempo transcurrido, sino a la raíz cuadrada del tiempo.A. Einstein, Investigations of the Theory of Brownian Movement (Dover, 1956). Al hacer este tipo de afirmaciones sobre una partícula a partir del comportamiento de una colectividad de partículas se está haciendo un pequeño salto conceptual que puede justificarse.
La segunda parte de la teoría de Einstein se refiere a la constante de difusión en cantidades físicamente medibles, tales como la media al cuadrado de desplazamiento de una partícula en un intervalo de tiempo dado. Este resultado permite la determinación experimental del número de Avogadro y por lo tanto el tamaño de las moléculas. Einstein analizó un equilibrio dinámico que se establece entre fuerzas opuestas. La belleza de su argumento es que el resultado final no depende de que las fuerzas están involucradas en el establecimiento del equilibrio dinámico.
En su tratamiento original, Einstein consideraba un experimento de presión osmótica, pero a la misma conclusión se puede llegar de otra manera.
Consideremos, por ejemplo, partículas en suspensión en un fluido viscoso en un campo gravitatorio. La gravedad tiende a hacer que las partículas se depositen, mientras que la difusión actúa para homogeneizarlos, conduciéndolos a regiones de menor concentración. Bajo la acción de la gravedad, una partícula adquiere una velocidad descendente de v = μmg , donde M es la masa de la partícula, g es la aceleración debida a la gravedad y μ es la movilidad de la partícula en el fluido. George Stokes había demostrado que la movilidad de una partícula esférica con radio R es , donde η es la viscosidad dinámica del fluido. En un estado de equilibrio dinámico, las partículas se distribuyen de acuerdo a la distribución barométrica
Donde ρ-ρ0 es la diferencia en la densidad de las partículas separadas por un desnivel de h , kB es la constante de Boltzmann (es decir, la relación de la constante universal de los gases , R, con el número de Avogadro, N ), y T es la temperatura absoluta. Es el número de Avogadro lo que se va a determinar.
thumb|La distribución de equilibrio para las partículas de gamboge muestra la tendencia de los gránulos a que se muevan a las regiones de menor concentración cuando se ven afectados por la gravedad. Se establece el equilibrio dinámico, porque cuanto más se tiran hacia abajo las partículas por la gravedad, mayor es la tendencia a que las partículas migren a regiones de menor concentración. El flujo está dada por las leyes de Fick,
donde J = ρv. Aplicando la fórmula para ρ, encontramos que
En un estado de equilibrio dinámico, esta velocidad debe ser también igual a v = μmg . Nótese que ambas expresiones para V son proporcionales a mg , reflejando cómo la derivación es independiente del tipo de fuerzas consideradas. Igualando estas dos expresiones se deriva esta expresión para la difusividad: