miniaturadeimagen|El área del paralelogramo es el valor absoluto del determinante de la matriz formada por los vectores que representan sus lados. En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante de una matriz haciéndolo aplicable en numerosos campos. El concepto de determinante o volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Historia de los determinantes Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del , esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el . Fue en China (Jiuzhang Suanshu) donde por primera vez se utilizó tabla de ceros y se aplicó un algoritmo que, desde el , se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.

El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.

Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos y contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos años antes.

Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración de la fórmula .

Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Un contribuyente principal en la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue él con quien la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Sylvester llamó más tarde jacobiano a este determinante.

Primeros cálculos de determinantes En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.

thumb|El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz. La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz dieron los primeros ejemplos casi simultáneamente.

Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar . En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo.E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980) Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de orden 3 y 4, y de nuevo los signos están mal para los determinantes de tamaño superior.Y. Mikami, The development of Mathematics in China and Japan (1913, 2e éd. Chelsea Pub. Company 1974) El descubrimiento se quedó sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shōgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los jesuitas en 1638.

Determinantes de cualquier dimensión

En 1748, en un tratado póstumo de álgebra de MacLaurin aparece la regla para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuando n es 2, 3 o 4, mediante el uso de determinantes.C. B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley, 1968) En 1750, Cramer da la regla para el caso general, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación.M. Cantor, Geschichte der Mathematik (Teubner, 1913)

Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el cálculo del determinante de la actual matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes.

Gauss utiliza por primera vez el término «determinante», en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto.

Aparición de la noción moderna de determinante

Cauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se encargó de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula y demostración del determinante de un producto junto con el enunciado y demostración de la regla de Laplace. Ese mismo año Binet ofreció otra demostración (incorrecta) para la fórmula del determinante de un producto. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducción de endomorfismos.

En 1825 Heinrich F. Scherk publicó nuevas propiedades de los determinantes. Entre las propiedades halladas estaba la propiedad de que en una matriz en la que una fila es combinación lineal de varias de otras filas de la matriz el determinante es cero.

Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista de Crelle, Jacobi aporta a la noción una gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos sistemáticos de cálculo bajo una forma algorítmica. Del mismo modo, hace posible la evaluación del determinante de funciones con la definición del jacobiano, lo que supone un gran avance en la abstracción del concepto del determinante.

El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester. Cayley es también el inventor de la notación de los determinantes mediante barras verticales (1841) y establece la fórmula para el cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes(1858).

La teoría se ve reforzada por el estudio de determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por la introducción del determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el wronskiano en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales.

Definición de determinante

Origen de la construcción del determinante: volumen de paralelepípedos miniaturadeimagen|Paralelepípedo generado por tres vectores . En primer lugar vamos a generalizar las nociones de paralelogramo y paralelepípedo a un espacio vectorial sobre de dimensión finita . Los paralelogramos en y los paralelepípedos en se definen como el espacio generado por dos o tres vectores (tantos como la dimensión) respectivamente tomando sus coeficientes entre 0 y 1. Esta es la noción que vamos a generalizar a dimensión . Dados vectores de , definimos el "paralelepípedo" que forman como

.

Es conveniente visualizar este conjunto como una especie de ladrillo torcido. miniaturadeimagen|320x320px|Ilustración de la propiedad 1. El conjunto de abajo a la izquierda y el de abajo a la derecha tienen el mismo volumen. En efecto, viéndolos juntos en la imagen de arriba, el prisma triangular que le falta al de la izquierda por debajo es exactamente el prisma triangular que le sobra por arriba. Cuando el espacio consta de un producto escalar, podemos calcular el volumen del paralelepípedo, y este cumple las tres propiedades intuitivas siguientes:

Ver imagen a la derecha. El volumen de un ladrillo con un lado que sea la suma de dos vectores (conjunto de abajo a la derecha) es la suma de los volúmenes de dos ladrillos, uno sustituyendo ese lado por el primer sumando, y otro sustituyéndolo por el segundo (conjunto de abajo a la izquierda). Multiplicar un vector por una constante se corresponde con estirar ese lado del ladrillo según esa constante, lo que produce que el volumen del ladrillo también se multiplique por esa constante. Si dos vectores son iguales, el ladrillo que forman tiene volumen nulo (el ladrillo formado es "plano"; no tiene "grosor").

El determinante de un conjunto de vectores generalizará el volumen del ladrillo que forman. Sin embargo, la noción de determinante es más general, pues se puede definir en un espacio vectorial sin estructura particular (concretamente, sin producto escalar). Para ello definiremos una aplicación que generalice el volumen del ladrillo pidiéndole simplemente que cumpla las tres propiedades anteriores. Tal aplicación se llama una forma n-lineal alternada.

Formas n-lineales alternadas Volvemos a tomar un espacio vectorial de dimensión sobre un cuerpo . Una forma n-lineal alternada es una aplicación que toma vectores y les asocia un escalar en que satisface las tres propiedades del apartado anterior (por eso generaliza la noción de volumen). Formalmente, debe ser:

y 2. lineal en cada variable (-lineal). Esto es, para vectores y escalares , se debe satisfacer que . La linealidad respecto de la suma se corresponde con la propiedad 1 anterior de "enganchar ladrillos" y, respecto del producto por escalar, con la 2 de "estirar un lado".

3. alternada, es decir, se anula al ser evaluada en una tupla de vectores que contenga dos vectores idénticos. Es decir, si existen tales que , entonces . Esto se corresponde con la propiedad 3 anterior.

Las primeras dos propiedades son muy naturales de considerar: explican cómo se comporta el determinante (el volumen de un paralelepípedo) con relación a las operaciones básicas con vectores. La tercera parece un poco menos natural, pero surge naturalmente al considerar el determinante como un volumen. Obsérvese que en esta generalización el volumen puede ser negativo, por la propiedad 2 (el "volumen del paralelepípedo" será de hecho el valor absoluto de la forma alternada). En efecto, cambiar un solo vector por su opuesto produce un cambio de signo. Este signo se puede entender como la orientación de los vectores (en dos dimensiones se puede ver como el sentido horario o antihorario del giro que determina ir del primer vector hacia el segundo; en tres dimensiones, los dos signos se corresponden con tuplas de vectores que siguen la regla de la mano derecha o la regla de la mano izquierda).

Determinante de una familia de vectores fijada una base Si suponemos que en hay fijada una base , podemos definir el determinante en base como la única forma n-lineal alternada que verifica que . Es decir, intuitivamente estamos añadiendo una "unidad de medida": el volumen del ladrillo que forman los vectores de la base. Además, desde el punto de vista de la orientación, también la estamos fijando: la base fijada y otras bases con la misma orientación tendrán la orientación positiva, mientras que las bases con la otra orientación la tendrán negativa.