Sean las variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución y función de densidad . Sea también la variable definida por: . Entonces, la función de distribución del mínimo de la muestra está dada por: , y su función de densidad: .
Demostración Se parte de la demostración de la distribución del máximo de una muestra. Supongamos que es la función de distribución de Y, entonces:
A diferencia del máximo, el mínimo de puede ser menor que , mientras que muchos de los pueden ser mayores. Por esta razón se trabaja con el complemento del evento , es decir, con .
Como para , el evento es equivalente al evento . Es decir sea mayor que un número , cada una de las tiene que ser mayor que ese número . Por lo tanto:
(Complemento)
(Independencia)
(Distribución idéntica)
(Definición)
Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:
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Categoría:Distribuciones de probabilidad Categoría:Estadística no paramétrica