En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.
Definición de subespacio vectorial Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:
Consecuencias
Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
Notaciones
Dado un subespacio vectorial, se tiene:
Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
Criterio de verificación Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:
Ejemplos Dado el espacio vectorial , sus elementos son del tipo .
El subconjunto
es un subespacio vectorial.
El subconjunto
no es un subespacio vectorial.
Otros ejemplos Sea un espacio vectorial. Asumimos que es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.
1) {0} es un subespacio vectorial de . Es llamado el subespacio trivial de .
2) en sí es un subespacio vectorial de .
3) Si fijamos . Entonces el conjunto es un subespacio de .
4) Más generalmente, si fijamos , ..., , entonces el conjunto es un subespacio de . Este conjunto es llamado el generador lineal de , ..., .
5) Si fijamos y , ..., , entonces el conjunto es un subespacio afín de . En general, no será un subespacio.
6) Si es un subespacio de , entonces no es un subespacio. Esto es fácil de ver, considerando que debe que contener el 0, pero no contiene el 0. Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.
Operaciones con subespacios Sea un espacio vectorial; y subespacios vectoriales de , se definen las siguientes operaciones:
Unión
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.
Intersección
La intersección de dos subespacios es un subespacio. Suma
La suma de dos subespacios es un subespacio de V. Suma directa Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa"."Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires. Es decir que si Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.
Subespacios suplementarios Se dice que los subespacios y son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial :
Dimensiones de subespacios
La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios y será igual a la dimensión del subespacio más la dimensión del subespacio menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:
Por ejemplo, siendo y y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1. Luego, .
En la suma directa En el caso particular de la suma directa, como .La fórmula de Grassmann resulta:Entonces en el ejemplo anterior, resultaría .
Véase también
Base (álgebra) Combinación lineal Dependencia e independencia lineal Espacio vectorial Producto escalar Producto vectorial Producto mixto Sistema generador
Referencias
Categoría:Álgebra lineal