alt=Números enteros|miniaturadeimagen|289x289px|El conjunto de números enteros (Z) está formado por los números naturales (N) y los números negativos no fraccionarios. Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales; que son Véanse textos como o ; dependiendo de cómo se definan, sus opuestos, y en la segunda definición, además el cero. Los enteros negativos, como −1 o −13 (se leen «menos uno», «menos trece», etc.), son menores que cero y también son menores que todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «menos» delante de los negativos: -1, -5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa con la letra , proveniente de la inicial del término en alemán Zahlen («números», pronunciado ).
En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del cero y los números positivos a su derecha.
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del signo.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturalesNúmeros naturales en Wikipedia para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
Ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura, usan valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Historia La palabra entero procede del latín integer que significa "entero" o (literalmente) "intacto", de in ("no") más tangere ("tocar"). "Entire" deriva del mismo origen a través de la palabra French entier, que significa tanto entero como entero. Históricamente el término se utilizaba para un número que era múltiplo de 1, o a la parte entera de un número mixto. Sólo se consideraban enteros positivos, lo que convertía el término en sinónimo de número natural. La definición de número entero se amplió con el tiempo para incluir número negativos a medida que se reconoció su utilidad. Por ejemplo Leonhard Euler en su 1765 Elementos de Álgebra definió los números enteros para incluir tanto los números positivos como los negativos. Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos hasta mediados del .
El uso de la letra Z para denotar el conjunto de los números enteros proviene de la palabra alemán Zahlen ("números") y se ha atribuido a David Hilbert. El uso más antiguo conocido de la notación en un libro de texto se produce en Algébre escrito por el colectivo Nicolas Bourbaki, que data de 1947. La notación no se adoptó inmediatamente, por ejemplo otro libro de texto utilizaba la letra J y en un artículo de 1960 se utilizó Z para designar los enteros no negativos. Pero en 1961, Z se utilizaba generalmente en los textos modernos de álgebra para designar los enteros positivos y negativos.
El símbolo es a menudo anotado para denotar varios conjuntos, con uso variable entre diferentes autores: , o para los enteros positivos, o para los enteros no negativos, y para los enteros distintos de cero. Algunos autores usan para enteros no nulos, mientras que otros lo usan para enteros no negativos, o para (el grupo de unidades de ). Además, se utiliza para denotar ya sea el conjunto de integros de módulo (es decir, el conjunto de clases de congruencia de enteros), o el conjunto de -ádicos.Keith Pledger y Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
Los números enteros fueron sinónimos de los enteros hasta principios de la década de 1950. A finales de la década de 1950, como parte del movimiento Matemática moderna, Los profesores de primaria estadounidenses empezaron a enseñar que los "números enteros" se referían a los números naturales, excluyendo los números negativos, mientras que los "enteros" incluían los números negativos."Número entero" sigue siendo ambiguo en la actualidad.
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como: 3 − 5 = ? Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 0, 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:
Además, para diferenciarlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
La recta numérica
Los números enteros negativos son menores que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica: centro Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
Ejemplos. = 5 , = 2 , = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
Ejemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.
Adición
thumb|330px|En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color. En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Ejemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
Ejemplo. Propiedad asociativa: [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44) (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44) Propiedad conmutativa: (+9) + (−17) = −8 (−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
Sustracción La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
Ejemplos (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación y División
La multiplicación y división de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Ejemplos multiplicación. (+5) × (+3) = +15 , (+4) × (-6) = -24 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
Ejemplos división. (+15) : (+3) = +5 , (+12) : (-6) = -2 , (−16) : (+4) = −4 , (−18) : (−2) = +9. La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:
Ejemplo. Propiedad asociativa:
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140 (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140 Propiedad conmutativa: (−6) × (+9) = −54 (+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:
Ejemplo. (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21 La división de números enteros no tiene las propiedades asociativa, conmutativa ni la distributiva.
Propiedades algebraicas
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia. Podemos ampliar esta estructura a la de dominio de integridad totalmente ordenado, ya que es un anillo sin divisores de cero y con un orden total
Véase también Parte entera Entero (tipo de dato) Número decimal
Ejemplos en la vida cotidiana == Los números enteros aparecen frecuentemente en situaciones de la vida diaria:
Temperaturas: En un día de invierno, la temperatura puede ser de -5 °C (cinco grados bajo cero) o de 25 °C (veinticinco grados sobre cero). Finanzas: Si tienes 100 pesos y gastas 150, tu saldo será de -50 pesos (una deuda de 50 pesos). Altitudes: El nivel del mar se toma como 0. Un lugar como la Ciudad de México está a unos 2,240 metros sobre el nivel del mar (+2,240 m), mientras que un lugar como el Mar Muerto está a unos -430 metros (430 metros bajo el nivel del mar). Deportes: En golf, un jugador puede tener un puntaje de -5 (cinco golpes bajo el par) o +3 (tres golpes sobre el par). Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
Glosario básico Para entender mejor el artículo:
Número entero: Cualquier número que no tenga parte decimal: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Valor absoluto: La distancia de un número al cero en la recta numérica. Por ejemplo, el valor absoluto de -5 es 5, y el valor absoluto de 5 también es 5. Números positivos: Los enteros mayores que cero (1, 2, 3, ...). Números negativos: Los enteros menores que cero (-1, -2, -3, ...). Recta numérica: Una línea donde los números se representan en orden, con el cero en el centro.
Categoría:Teoría de números elemental Categoría:Teoría de grupos abelianos