Matematiikassa kontraktio on eräs funktiotyyppi. Kontraktioita kutsutaan myös nimellä kutistus.
Määritelmä Funktio on kontraktio, jos riippumatta luvuista on olemassa siten, että
Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla: funktio on kontraktio, jos riippumatta pisteistä on olemassa siten, että , missä ja ovat avaruuksien ja metriikat, vastaavasti.
Esimerkkejä Funktio on kontraktio. Nimittäin nyt
eli .
Funktio ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi
Lause Olkoon derivoituva, missä on väli. Tällöin on kontraktio jos ja vain jos .
Todistus: Olkoon . Jos , niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella
kaikilla joten tällöin on kontraktio. (Jos ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)
Jos , niin on olemassa siten, että . Tällöin on olemassa siten, että
jolloin . Siis mikään ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis , niin ei ole kontraktio, MOT.
Esimerkki Funktio ei ole kontraktio funktiona mutta on kontraktio millä tahansa äärellisellä välillä: . On näet
kaikilla ja eli kaikilla mutta silti
joten jos ja vain jos väli on äärellinen. Tässä on käytetty apuna sitä, että kaikilla .
Katso myös Banachin kiintopistelause
Lähteet
Luokka:Funktiot