pienoiskuva | upright=1.25 | Yonedan lemman isomorfismin määrittelevä kommutatiivinen kaavio.
Kategoriateoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii matemaattisia rakenteita keskittymällä objektien välisiin suhteisiin ja yhteyksiin. Kategoriateorian peruskäsite on kategoria, jonka voidaan ajatella olevan tietty matemaattinen konteksti, jossa käsillä olevan matemaattisen teorian diskurssi tapahtuu. Kategorioita tavataan lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla, joten kategoriateoreettisia käsitteitä ja tuloksia voidaan käyttää matemaattisten teorioiden jäsentelyyn ja tutkimiseen. Kategorioita voidaan kuitenkin tutkia myös itsenäisinä olioina, ilman suoraa yhteyttä muihin matematiikan osa-alueisiin.
Kategoriateorian keskiössä ovat niin sanotut universaaliominaisuudet: oliot määritellään suhteessa kaikkiin tietyn kontekstin (eli kategorian) olioiden suhteen. Tällä tavoin määritellyt oliot eivät siis ole olemassa itsenäisesti, vaan oleellisella tavalla riippuvat ja sisältävät informaatiota siitä kontekstista tai teoriasta, johon kuuluvat. Tärkeä kategoriateoreettinen tulos on Yonedan lemma, joka karkeasti ottaen sanoo, että kaikki kategorian objektit määräytyvät yksikäsitteisesti universaaliominaisuuksiensa kautta.
Kategoriateoria syntyi puhtaan matematiikan osa-alueena homologisen algebran tarpeisiin, minkä jälkeen sitä on sovellettu ja kehitetty matematiikan sisällä muun muassa algebrallisen topologian, algebran ja matemaattisen logiikan yhteydessä. Tämän lisäksi kategoriateoriaa on sovellettu matematiikan ulkopuolella muun muassa tietojenkäsittelytieteessä, fysiikassa, teoreettisessa biologiassa, systeemiteoriassa ja kieliteknologiassa.
Historia ja motivaatio
Saunders Mac Lane ja Samuel Eilenberg määrittelivät funktorit ja luonnolliset isomorfismit ryhmäteorian kontekstissa artikkelissaan vuodelta 1942. Heidän tarkoituksensa oli homologisessa algebrassa usein esiintyneiden "luonnollisten isomorfismien" systematisointi ja täsmällinen määrittely. Näiden määrittelemistä varten tarvittiin funktorin määritelmä, mikä puolestaan johti heidät esittelemään esimerkkejä luonnollisista muunnoksista muilta matematiikan osa-alueilta heidän seuraavassa artikkelissaan vuodelta 1945. Tässä artikkelissa myös määriteltiin kategoria ensimmäisen kerran.
Kategoriat
Kategoria on kategoriateorian perusyksikkö, joka koostuu objekteista sekä näiden välisistä morfismeista. Morfismit voidaan ajatella prosesseina, joilla on lähtöpiste tietyssä oliossa (morfismin lähtöobjekti) sekä päätepiste jossakin toisessa oliossa (morfismin maaliobjekti). Morfismien ja objektien määritelmä on kuitenkin täysin formaali eikä edellytä tällaista intuitiota. Kategorian mille tahansa objektille on olemassa identiteettimorfismi, ja mitkä tahansa kaksi peräkkäistä morfismia voidaan yhdistää yhdisteeksi. Lisäksi pätevät identiteettilaki ja liitäntälaki: minkä tahansa morfismin yhdiste identiteettimorfismin kanssa on sama kuin kyseinen morfismi, ja yhdisteen järjestyksellä ei ole väliä (katso kategorian täsmällinen määritelmä).
Yleisiä periaatteita
Kommutatiiviset kaaviot
pienoiskuva | Esimerkki kommutatiivisesta kaaviosta. Kommutatiivisuus tarkoittaa tässä tapauksessa, että .
Kategoriateorian tunnusomaisin merkintä ja samalla tärkeä todistustekniikka on kommutatiivinen kaavio. Tässä kontekstissa kaavioita (kommutatiivisia tai ei) käytetään yleensä epämuodollisesti, mutta mikä tahansa kaavio voitaisiin periaatteessa esittää muodollisesti kaavion määritelmän avulla.
Kaavio koostuu objekteista, joita merkitään pistein tai kirjaimin, esimerkiksi ja , ja näiden välisistä morfismeista, joita merkitään nuolin, esimerkiksi ja . Kaavio on kommutatiivinen, jos kaikki kaavion morfismit kaavion minkä tahansa kahden objektin välillä (mukaan lukien yhdisteet) ovat yhtä suuria. Toisin sanoen kommutatiivisessa kaaviossa ei ole väliä, mitä "reittiä" (eli morfismien yhdisteitä) yhdestä objektista päädytään toiseen. Yllä olevassa esimerkissä kommutatiivisuus tarkoittaisi, että .
Universaaliominaisuudet ja yksikäsitteisyys isomorfismia vaille Koska kategoriateoria keskittyy objektien (ja morfismien) keskinäisiin suhteisiin, tietty objekti tai morfismi määritellään yleensä suhteessa muihin kategorian objekteihin tai morfismeihin. Tällöin puhutaan objektin tai morfismin universaaliominaisuudesta. Universaaliominaisuuden kautta määriteltyä objektia tai morfismia kutsutaan vastaavasti universaaliobjektiksi tai universaalimorfismiksi.
Esimerkiksi alkuobjekti määritellään universaaliominaisuuden kautta: objekti on alkuobjekti mikäli mille tahansa objektille on olemassa täsmälleen yksi morfismi .
Objekteille (ja morfismeille), jotka on määritelty universaaliominaisuuden kautta, on tyypillistä yksikäsitteisyys, mikäli isomorfisten objektien katsotaan olevan "yhtä suuria" tai "samoja". Täsmällisesti, määritellään objektien yksikäsitteisyys isomorfismia vaille ominaisuuden suhteen seuraavasti: mikäli sekä objektilla että objektilla on ominaisuus , niin on olemassa isomorfismi :sta :hen (eli siis myös isomorfismi :stä :hen). Tätä tiukempi käsite on yksikäsitteisyys yksikäsitteistä isomorfismia vaille, joka määritellään muuten samalla tavalla kuin yksikäsitteisyys isomorfismia vaille, mutta objektien välinen isomorfismi on lisäksi yksikäsitteinen.
Esimerkiksi alkuobjekti, mikäli se on olemassa, on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.
Vastakkainen kategoria ja duaalisuus
Olkoon kategoria. Tällöin sen vastakkainen kategoria määritellään siten että , ja jokaiselle objektiparille olkoon . Selvästi .
Tärkeä kategoriateoreettinen käsite on duaalisuus: mitä tahansa lausetta tai käsitettä, joka pätee tai on määritelty jossakin kategoriassa, vastaa lause tai käsite vastakkaisessa kategoriassa, jota kutsutaan duaalilauseeksi tai -käsitteeksi. Esimerkiksi yllä mainituista käsitteistä alku- ja loppuobjekti sekä mono- ja epimorfismi ovat toistensa duaalikäsitteitä. Täsmällisesti, erään kategorian objekti on alkuobjekti jos ja vain jos se on loppuobjekti vastakkaisessa kategoriassa, ja morfismi on monomorfismi jos ja vain jos se on epimorfismi vastakkaisessa kategoriassa.
Tietyn käsitteen duaalikäsitteen nimi muodostetaan usein, muttei kuitenkaan aina, lisäämällä kyseisen käsitteen nimen eteen ko-etuliite.
Funktorit
Myös kategoriat muodostavat kategorian, jonka morfismeina ovat funktorit.
Olkoot ja kategorioita. Funktori kategoriasta kategoriaan koostuu seuraavista kuvauksista: jokaiselle objektille , objekti , ja jokaiselle :n morfismille kategorian morfismi , jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot: identiteetin säilytys: jokaiselle objektille pätee , ja yhdisteen säilytys: jokaiselle :n morfismiparille ja pätee .
Erityisiä funktoreita
Olkoon funktori. Määritellään jokaiselle objektiparille kuvaus siten että . Funktori on täysi mikäli jokaiselle objektiparille , kuvaus on surjektio, uskollinen mikäli jokaiselle objektiparille , kuvaus on injektio, täysin uskollinen mikäli se on sekä täysi että uskollinen, oleellisesti surjektio objekteille mikäli jokaiselle objektille on olemassa objekti siten että ja ovat isomorfisia.
Esimerkkejä
Mille tahansa (ei tyhjille) kategorioille ja sekä objektille voidaan määritellä vakiofunktori , jonka arvo kaikilla :n objekteilla on ja kaikilla :n morfismeilla .
Luonnolliset muunnokset
Kahden kategorian väliset funktorit voidaan niin ikään järjestää kategoriaksi. Morfismeiksi tarvitaan tällöin luonnolliset muunnokset. Itse asiassa Eilenbergin ja Mac Lanen alkuperäinen motivaatio oli algebrallisessa topologiassa käytettyjen "luonnollisten" kuvausten täsmällinen määritelmä, jota varten he määrittelivät sekä kategoriat että funktorit.
Olkoot funktoreita. Luonnollinen muunnos koostuu :n morfismista jokaiselle :n objektille , siten että jokaiselle :n morfismille pätee . Toisin sanottuna jokaiselle morfismille kaavio
on kommutatiivinen.
Luonnollisesta muunnoksesta käytetään myös suomenkielistä nimeä luonnollinen transformaatio (engl. natural transformation).
Yksittäistä morfismia , joka on osa luonnollista muunnosta, kutsutaan :n komponentiksi, tai täsmällisemmin -komponentiksi.
Luonnollista muunnosta, jonka jokainen komponentti on isomorfismi, kutsutaan luonnolliseksi isomorfismiksi. Luonnolliset isomorfismit ovat isomorfismeja kategoriassa, jonka muodostavat kahden kategorian väliset funktorit sekä näiden väliset luonnolliset muunnokset.
Kategorioiden ekvivalenssi
Koska (pienet) kategoriat ja funktorit muodostavat (suuren) kategorian, isomorfismin määritelmä pätee myös funktoreille. Kategorioiden isomorfisuus yhtenevyyden mittana on kuitenkin useissa tilanteissa liian tiukka, sillä se sivuuttaa sen faktan, että kategorioiden kategoriassa jokainen objekti omaa kategorian rakenteen. "Oikeampi", tai ainakin käytännällisempi, yhtenevyyden mitta onkin kategorioiden ekvivalenssi, joka muistuttaa muodoltaan topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssia.
Olkoot ja kategorioita. Tällöin kategorioiden ja ekvivalenssi koostuu seuraavista: funktori , funktori , luonnollinen isomorfismi , luonnollinen isomorfismi .
Rajat ja korajat
Kaaviot ja kartiot
Olkoon pieni kategoria. Tällöin funktoria kutsutaan :n muotoiseksi kaavioksi kategoriassa . Kategoriaa kutsutaan kaavion indeksikategoriaksi.
Kaavion kartio on luonnollinen muunnos . Objektia kutsutaan kartion kärjeksi ja luonnollisen muunnoksen komponentteja kartion särmiksi. Yksityiskohtaisesti kartio koostuu siis objektista ja kokoelmasta morfismeja jokaiseen objektin kuvaan, siten että jokaiselle :n morfismille kaavio
on kommutatiivinen.
Merkitään kartiota, jonka kärki on ja luonnollinen muunnos . Määritellään kartiomorfismi kartiosta kartioon morfismina siten että , jossa on vakio luonnollinen muunnos, jonka jokainen komponentti on . Yksityiskohtaisesti ehto, jonka :n pitää toteuttaa ollakseen kartiomorfismi on: jokaiselle objektille pätee . Jokaisen kaavion kartiot ja kartiomorfismit muodostavat kategorian, jota merkitään ja jota kutsutaan kaavion kartiokategoriaksi.
Rajat
Raja voidaan määritellä hyvin lyhyesti kartiokategorian avulla: kaavion raja on kategorian loppuobjekti. Huomataan, että kaikilla kaavioilla ei välttämättä ole rajaa, sillä kartiokategoriassa ei välttämättä ole loppuobjektia. Tästä määritelmästä seuraa, että raja on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.
Koska yllä annettu rajan määritelmä on hyvin tiivis, rajan käsitteen merkitys ei välttämättä avaudu siitä. Näin ollen annetaan seuraavaksi yksityiskohtaisempi, mutta yhtäpitävä määritelmä. Olkoon kaavio. Tällöin :n raja koostuu objektista sekä kokoelmasta morfismeja jokaiselle objektille siten että muodostavat kartion (eli jokaiselle :n morfismille alla olevan kaavion sisempi kolmio on kommutatiivinen), ja kartio on lisäksi universaali tämän ominaisuuden suhteen: mikäli on :n objekti ja on morfismi jokaiselle objektille siten että on kartio (eli jokaiselle :n morfismille alla olevan kaavion ulompi kolmio on kommutatiivinen), niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen morfismi siten että jokaiselle objektille pätee , eli toisin sanottuna kaavio
on kommutatiivinen.
Kokartiot ja korajat
Kaavion kokartio on kaavion kartio, eli luonnollinen muunnos . Samoin kuin kartiolle, objektia kutsutaan kokartion kärjeksi ja komponentteja särmiksi, ja kokartiota merkitään . Kokartiomorfismi kokartiosta kokartioon on morfismi siten että . Merkitään kaavion kokartioiden ja kokartiomorfismien kategoriaa . Tällöin kaavion koraja on kategorian alkuobjekti, mikäli se on olemassa.
Yksityiskohtaisesti, kaavion koraja on kokartio siten että mille tahansa kokartiolle on olemassa yksikäsitteinen morfismi , joka jokaiselle :n morfismille tekee kaaviosta
kommutatiivisen.
Esimerkkejä
Esimerkkejä rajoista: loppuobjekti on tyhjän kaavion raja, joukkojen ja funktioiden kategoriassa loppuobjekti (eli tyhjän kaavion raja) on täsmälleen yhden alkion sisältävä joukko, osittain järjestetyssä joukossa loppuobjekti on suurin alkio;