Matematiikassa alkeismatriisi on yksinkertainen matriisi, joka saadaan yksikkömatriisista yhdellä alkeisrivitoimituksella - jokainen alkeisrivitoimitus pystytäänkin ilmoittamaan jonkin alkeismatriisin avulla. Alkeismatriisien ominaisuuksien ansiosta pystytään käsittelemään säännöllisiä matriiseja.
Määritelmä m×m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista Im yhdellä alkeisrivitoimituksella K, jossa K on I, II tai III. Alkeismatriisin E sanotaan tällöin olevan tyyppiä K.
I. Kahden rivin paikat vaihdetaan. II. Rivi kerrotaan nollasta eriävällä luvulla. III. Riviin lisätään toisen rivin monikerta.
Esimerkki , jossa yksikkömatriisin 2. ja 3. rivi on vaihdettu keskenään. , jossa yksikkömatriisin 3. rivi on kerrottu vakiolla 3. , jossa yksikkömatriisin 3. riviä on kerrottu luvulla 4 ja lisätty se sitten 1. riviin.
Ominaisuuksia
1. Oletetaan, että alkeismatriisi E on tyyppiä K. Kun tällä alkeismatriisilla kerrotaan jokin matriisi A on tulos sama kuin, jos A:lle tehtäisiin rivitoimitus K. (K = I, II tai III)
Esimerkki Suoritetaan matriisille
rivitoimitus I alkeismatriisin E avulla. A:n 1. ja 2. rivi vaihdetaan siis seuraavasti: . Myös rivitoimitukset II ja III voitaisi esittää alkeismatriisien avulla.
2. Jos äärellisellä määrällä alkeismatriiseja kerrotaan jotakin matriisia B ja saadaan tuloksi matriisi A, matriisit A ja B ovat riviekvivalentteja.
3. Alkeismatriisi E on säännöllinen ja sen käänteismatriisi E -1 on samaa tyyppiä K kuin E.
Käyttö
Alkeismatriisien ominaisuuksia hyödynnetään, kun todistetaan matriisien säännöllisyysehtoa.
Säännöllisyysehto Matriisi A on säännöllinen, jos ja vain jos A ja sitä vastaava yksikkömatriisi ovat riviekvivalentteja.
Kirjallisuutta
(pdf)
Luokka:Matriisit