Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.
Darboux’n kehys pinnalla sijaitsevalle käyrälle Olkoon S suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E3. Darboux’n kehys pinnalla S voidaan määritellä kaikille pinnan S. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.
Määritelmä Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla S, Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ(s) määritellään asettamalla (yksikkötangentti) (yksikkönormaali) (tangenttinormaali) Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.
Geodeettinen ja normaalikaarevuus sekä suhteellinen torsio Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon (yksikkötangentti, kuten edellä) (Frenet-normaalivektori) (Frenet-binormaalivektori).
Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:
Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan
missä: κg on käyrän geodeettinen kaarevuus, κn on käyrän normaalikaarevuus ja τr on käyrän suhteellinen torsio (ts. geodeettinen torsio).
Lähteet
Luokka:Differentiaaligeometria