Äärellinen topologinen avaruus on äärelliseen joukkoon määritelty topologia. Topologiaa on kehitetty lähinnä äärettömiin joukkoihin, mutta äärelliset topologiat voivat olla esimerkiksi yksinkertaisia havainnollistuksia joissakin tilanteissa.
Äärellisen joukon topologia voidaan määritellä yleistä topologiaa yksinkertaisemmin. Joukon X potenssijoukon P(X) osajoukko τ on topologia, jos
∅ ∈ τ ja X ∈ τ jos U ∈ τ ja V ∈ τ, niin U ∪ V ∈ τ jos U ∈ τ ja V ∈ τ, niin U ∩ V ∈ τ
Äärellisen joukon kaikki topologiat muodostavat hilan.
Esimerkkejä
Tyhjä ja yhden pisteen joukko
Tyhjällä joukolla ∅ on vain yksi topologia, jonka ainoa avoin joukko on tyhjä joukko.
Myös yhden pisteen joukolla on vain yksi topologia. Siinä avoimet joukot ovat tyhjä joukko ja ainoan alkion sisältävä joukko.
Kaksi pistettä
Joukolla {a,b} on neljä topologiaa.
{∅, {a,b}} (minimitopologia) {∅, {a}, {a,b}} {∅, {b}, {a,b}} {∅, {a}, {b}, {a,b}} (diskreetti topologia)
Aidosti erilaisia topologioita on kolme, koska edellä olevista toinen ja kolmas ovat selvästi keskenään homeomorfisia. Näiden kanssa homeomorfinen topologia on nimeltään Sierpińskin avaruus.
Kolme pistettä
Kolmen pisteen joukossa {a,b,c} on 29 erilaista topologiaa, mutta vain 9 näistä on keskenään ei-homeomorfista.
{∅, {a,b,c}} (minimitopologia) {∅, {c}, {a,b,c}} {∅, {a,b}, {a,b,c}} {∅, {c}, {a,b}, {a,b,c}} {∅, {c}, {b,c}, {a,b,c}} {∅, {c}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} {∅, {a}, {b}, {a,b}, {a,b,c}} {∅, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,b,c}} {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} (diskreetti topologia)
Viimeiset viisi näistä ovat -avaruuksia. Minimitopologiassa 1 ja topologioissa 2, 3 ja 4 pisteet a ja b eivät ole topologisesti erottuvia.
Topologisia ominaisuuksia
Äärellinen topologinen avaruus on selvästi kompakti, koska jokainen avoin peite on äärellinen. Samoin jokainen äärellinen topologinen avaruus on .
Erotteluaksioomat
Äärellinen topologinen avaruus on vain, jos se on diskreetti. Jokaisen pisteen komplementti on äärellinen unioni suljetuista pisteistä ja siis suljettu, joten jokaisen pisteen on oltava avoin.
Näin ollen mikään diskreettiä avaruutta karkeampi topologinen avaruus ei voi olla , eli Hausdorff tai toteuttaa mitään ylempää erotteluaksioomaa.
Äärellisten topologioiden lukumäärä
Yksinkertaista kaavaa erilaisten topologioiden lukumäärälle ei tunneta. Alla oleva taulukko on kopio OEIS-sarjoista.
Topologioiden lukumäärä n pisteen joukossanEritopologioitaEriT0-topologioitaEi-homeomorfisiatopologioitaEi-homeomorfisiaT0-topologioita01 1 1 111 1 1 124 3 3 2329 19 9 54355 219 33 1656942 4231 139 636209527 130023 718 31879535241 6129859 4535 20458642779354 431723379 35979 16999963260289423 44511042511 363083 183231108977053873043 6611065248783 4717687 2567284OEIS A000798 A001035 A001930 A000112
Kirjallisuutta
Luokka:Topologiset avaruudet