Tulotopologia on kahden tai useamman topologisen avaruuden karteesiselle tulolle määritelty topologia.
Avaruuksien karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa ainakin kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien avaruuksien topologioista. Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.
Määritelmä Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:
Joukon X tulotopologia on projektioiden Pi: X -> Xi indusoima topologia.
Tulotopologian kannan muodostavat joukot , jossa jokainen Ui on avoin joukossa Xi ja Ui ≠ Xi vain äärellisen monta kertaa.
Avaruuksien tulotopologia on karkein niistä X:n topologioista, joissa jokainen projektio Pj on jatkuva.
Tulotopologia ja laatikkotopologia
Topologisten avaruuksien karteesiselle tulolle voidaan määritellä toinenkin luonnolliselta vaikuttava topologia valitsemalla kannaksi joukot , missä Uj on mielivaltainen Xj:n avoin osajoukko. Tällä tavoin saadaan laatikkotopologia, joka ei ole kuitenkaan osoittautunut kovin merkitykselliseksi.
Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen eli karteesinen tulo muodostetaan vain äärellisestä määrästä avaruuksia, ei edellä mainitulla kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä. Tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa toisistaan äärellisten tulojen tapauksessa.
Esimerkkejä Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot ja , toisen ja , jolloin topologiat ovat ja vastaavasti . Avaruuden kannaksi tulee , ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni .
Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rn.
Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa avoin ei ole esimerkiksi jono . Sen sijaan on avoin.
Ominaisuuksia Erotteluaksioomat T0-avaruuksien tulo on T0-avaruus. T1-avaruuksien tulo on T1-avaruus. T2-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T2-avaruus.
Lähteet
Luokka:Topologiset avaruudet