Syllogismi ( ’johtopäätös, päätelmä’) on loogisen argumentin tyyppi, jossa kahdesta tai useammasta, todeksi oletetusta lauseesta johdetaan deduktiivisen päättelyn avulla niistä loogisesti seuraava johto­päätös.

Varhaisimmassa muodossaan, jonka määritteli Aristoteles, syllogismissa oli lähtö­kohtana yleinen lause (pääpremissi) ja merkitykseltään suppeampi lause (alipremissi), joista tehtiin päätelmä. Esimerkiksi kun tiedetään, että kaikki ihmiset ovat kuolevaisia (pääpremissi) ja että Sokrates on ihminen (alipremissi), voidaan pätevästi päätellä, että Sokrates on kuolevainen. Syllo­gisti­set päätelmät on tapana esittää kolmella allek­kai­sella rivillä seuraavaan tapaan; lauseiden lopusta jätetään tällöin usein pisteet pois:

Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia

Sokrates on ihminen

Siis Sokrates on kuolevainen

Varhaishistoria Antiikin aikana oli kaksi kilpailevaa syllogismien teoriaa: aristotelinen syllogis­tiikka ja stoalainen syllogis­tiikka. Aristoteles määritteli syllogismin "... päätelmäksi, jossa joistakin asetetuista väittämistä seuraa jotakin muuta kuin ne, koska ne ovat nämä."

Tästä hyvin yleisestä määritelmästä huolimatta Aristoteles rajoittuu teoksessaan Ensimmäinen analytiikka kategorisiin syllogismeihin, jotka muodostuvat kolmesta kategorisesta väittämästä. Näihin sisältyvät kategoriset modaaliset syllogismit.

Keskiajalta lähtien termejä kategorinen syllogismi ja syllogismi käytettiin yleensä samassa merkityksessä. Tämä artikkeli käsittelee syllogismeja vain tässä perinteisessä merkityksessä. Syllogismit muodostivat perinteisen deduk­tiivisen päättelyn ytimen, jossa tosi­asiat määritellään yhdistämällä jo olemassa olevia lauseita, päin­vastoin kuin induk­tiivisessa päättelyssä, jossa tosiasiat määritellään toistuvien havaintojen avulla.

Akateemisissa yhteyksissä syllogismin syrjäytti ensimmäisen asteen predikaatti­logiikka, jonka kehitti Gottlob Frege varsinkin teoksessaan Begriffsschrift (1879), mutta syllogismit ovat yhä hyödyllisiä joissakin yhteyksissä, ja niitä käytetään edelleen myös yleis­tajuisissa johdatuksissa logiikkaan.

Aristoteles

Syllogismien käytön ymmärryksen apuvälineenä voidaan katsoa saaneen alkunsa Aristoteleen logiikkaa käsittelevistä tutkielmista. Ennen 1100-luvun puoliväliä keskiajan loogikot tunsivat vain osan Aristoteleen teoksista, muun muassa teokset Kategoriat ja Tulkinnasta, jotka vaikuttivat mitä suurimmassa määrin tuolloin vallinneeseen vanhaan logiikkaan ("logica vetus"). Uusi logiikka ("logica nova") sai alkunsa, kun teos Ensimmäinen analytiikka, jossa Aristoteles esitti syllogismien teoriansa, jälleen löydettiin.

Kun Ensimmäinen analytiikka jälleen löydettiin, loogikot alkoivat heti pitää sitä "alan suljettuna ja täydellisenä perus­teoksena", joka jätti aikakauden ajattelijoille kovin vähän väittelyn ja uudelleen­järjestelyn sijaa. Aristoteleen teoriaa väitelauseiden syllogismeista pidettiin erityisen merkittävänä, ja aikojen kuluessa siihen tehtiin vain vähän muutoksia. Teoriaa ei liitetty yleisempään seurausl­ogiikkaan ennen kuin 1300-luvun puoli­välissä, jolloin muun muassa Jean Buridan kehitti logiikkaa pidemmälle.

Aristoteleen Ensimmäiseen analytiikka ei kuitenkaan sisältänyt selvää modaalisia syllogismeja koskevaa teoriaa. Modaalinen syllogismi on päätelmä, jossa ainakin jompaan­kumpaan premissiin liittyy modaalinen määrite kuten mahdollisesti, välttämättä tai varmasti. Tältä osin Aristoteleen termino­logia oli puutteellinen ja varsin epäselvä ja osittain risti­riidassakin sen kanssa, mitä hän oli kirjoittanut teoksessaan Tulkinnasta. Mitä hän kirjoitti tästä aiheesta, antoi aihetta laajaan keskusteluun, jota kommentoijat ovat jatkaneet nykyaikaan saakka. Aristoteleen oppia modaalisista syllogismeista alettiinkin lopulta pitää käytäntöön soveltumattomana, ja sen ovat korvanneet kokonaan uudet teoriat.

Keskiajan oppineet

Boethius

Boethius (noin 475–526) yritti saattaa Aristoteleen logiikan laajempien piirien ulottuville. Hän käänsi Ensimmäisen analytiikan latinaksi, mutta tämä käännös jäi lähes tunte­matto­maksi 1100-luvulle saakka. Sen sijaan hänen omilla teoksillaan kategorisista syllogismeista oli keskeinen osuus aihetta käsittelevän keskustelun laajenemiseen. Boethiuksen merkitys logiikan alalla ei niinkään perustu hänen omiin tutkimuksiinsa vaan siihen, että hän tehokkaasti välitti varhaisemmat teoriat myöhemmille logiikoille sekä siihen, että hän hyvin selvästi ja oikein esitti Aristoteleen tulokset.

Peter Abelard

Toinen keskiaikaisen logiikan varhainen edustaja latinalaisessa lännessä oli Peter Abelard (1079–1142). Hän tutki syllogismin käsitettä ja siihen liittyvää teoriaa perusteellisesti teoksessaan Dialectica, minkä lisäksi hän käsitteli aihetta muissakin teoksissaan kuten Logica Ingredientibus. Abelard jakoi modaaliset lauseet de dicto- ja de re -tyyppisiin, mikä teki keskiajan loogikoille mahdolliseksi kehittää modaalisille syllogismeille parempi teoria kuin mihin Aristoteles oli päässyt.

Jean Buridan

Jean Buridan (noin 1300–1361), jota monet pitävät myöhäis­keski­ajan suurimpana loogikkona, laati kaksi merkittävää teosta: Tractatus de consequentiis ja Summulae de Dialectica, joissa hän käsitteli syllogismin käsitettä, sen komponentteja, tyyppejä ja tapoja, joilla sen loogista käyttö­mahdollisuutta voitaisiin laajentaa. Buridanin jälkeen syllogistiseen logiikkaan ei kahteen­sataan vuoteen lisätty juuri mitään. Logiikan historioitsijat ovat väittäneet, että keski­ajan jälkeisinä vuosi­satoina alalla ei tapahtunut muita muutoksia kuin että alku­peräis­lähteet tulivat laajemman yleisön ulottuville, logiikan hienouksia arvostettiin entistä vähemmän ja alaa tunnettiin yleisesti yhä huonommin, mille 1900-luvun alun loogikot usein naureskelivat.

Perusrakenne Kategorisessa syllogismissa on kolme osaa: Pääpremissi Alipremissi Johtopäätös

Jokainen osa on kategorinen arvostelma, ja jokaisessa kategorisessa arvostelmassa on kaksi yleistä termiä. Aristoteleella kumpikin premissi on muotoa "Kaikki A:t ovat B", "Jotkut A:t ovat B", "Mikään A ei ole B" tai "Jotkut A:t eivät ole B", missä "A" ja "B" ovat joitakin asioita tarkoittavia termejä. Lauseita "Kaikki A:t ovat B" ja "Mikään A ei ole B" nimitetään "yleisiksi" (universaaleiksi) lauseiksi, lauseita "Jotkut A:t ovat B" ja "Jotkut A:t eivät ole B" taas "rajoittuneiksi" (partikulaarisiksi) lauseiksi. Uudemmassa logiikassa näistä esiintyy enemmän muunnelmia. Kummallakin premissillä toinen termeistä on yhteinen johto­päätöksen kanssa: pää­premississä tämä on päätermi (johto­päätöksen predikaatti, ali­premississä taas alitermi (johto­päätöksen subjekti. Esimerkiksi:

Pääpremissi: Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Alipremissi: Kaikki kreikkalaiset ovat ihmisiä. Johtopäätös: Kaikki kreikkalaiset ovat kuolevaisia.

Näissä esiintyy yhteensä kolme termiä, joista kukin tarkoittaa jotakin luokkaa, tässä tapauksessa ihmiset, kuolevaiset ja kreikkalaiset. Kuolevaiset on päätermi, kreikkalaiset alitermi. Molemmilla termeillä on myös yksi yhteinen termi, jota sanotaan välitermiksi, tässä tapauksessa ihmisen. Tässä esimerkissä molemmat premissit ovat yleisiä eli universaalisia, samoin johtopäätös.

Polysyllogismi eli soriitti on argumentin tyyppi, jossa sarja epä­täydellisiä syllogismeja on järjestetty niin, että jokaisen premissin predikaatti on samalla seuraavan subjekti, kunnes ensimmäisen premissin subjekti yhdistetään viimeisen premissin predikaatin kanssa johto­päätökseksi. Jos esimerkiksi joku väittää, että tietty määrä hiekan­jyviä ei muodosta kasaa ja että yksi lisättykään hiekan­jyvä ei tee siitä kasaa, ja jos tästä päätellään, ettei mikään määrä hiekan­jyviä muodosta kasaa, on kyseessä soriittinen argumentti.

Syllogismien tyypit thumb|Neljän lausetyypin väliset suhteet vastakohtaisuuksien neliössä. Mustat alueet ovat tyhjiä, punaiset alueet eivät. Ylävasemmalla oleva kaavio tarkoittaa lausetta"Kaikki S:t ovat P",yläoikealla "Mikään S ei ole P",alavasemmalla "jotkut S:t ovat P",alaoikealla "Jotkut S:t eivät ole P". Mahdollisia syllogismeja on äärettömän paljon, mutta niitä on vain 256 loogisesti erilaista tyyppiä, ja niistäkin vain jäljempänä lueteltavat 24 tyyppiä on päteviä. Syllogismi on muotoa

Pääpremissi: Kaikki M:t ovat P. Alipremissi: Kaikki S:t ovat M. Johtopäätös: Kaikki S:t ovat P.

(Huomautus: M – välijäsen, S – subjekti, P – predikaatti, selitetään tarkemmin jäljempänä.

Syllogismin premissit ja johtopäätös ovat jotakin neljästä tyypistä, joita merkitään kirjaimilla A, E, I ja O. Irving Copi arveli näiden olevan peräisin latinan sanoista "AffIrmo" ja "nEgO, joista edellinen tarkoittaa "Myönnän", jälkimmäinen "Kiellän"; kummassakin tapauksessa sanan ensimmäinen vokaali on tullut tarkoittamaan yleistä, toinen rajoitettua lausetta. Näiden kirjainsymbolien merkitykset osoittaa seuraava taulukko:

merkintä kvanttori subjekti kopula predikaatti tyyppi esimerkki A Kaikki S:t ovat P yleinen myöntävä lause Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. E Mitkään (Ketkään) S:t eivät ole P yleinen kieltävä lause Ketkään ihmiset eivät ole täydellisiä. I Jotkin (Jotkut) S:t ovat P rajoittunut myöntävä lause Jotkut ihmiset ovat terveitä. O Jotkin (Jotkut) S:t eivät ole P rajoittunut kieltävä lause Jotkut ihmiset eivät ole lahjakkaita.

Analytiikassaan Aristoteles käytti ei yleensä esittänyt konkreettisia esimerkkejä vaan käytti termien symboleina yleensä kreikkalaisia kirjaimia alfa, beeta ja gamma, jotka käännöksissä on korvattu vastaavilla latinalaisilla kirjaimilla A, B ja C. Tämä kirjainten käyttö paikan­varaajina oli Aristoteleen aikana uusi keksintö. On tullut tavaksi käyttää kirjaimia näiden välissä pieniä kirjaimia a, e, i ja o osoittamaan käsitteiden välisiä suhteita seuraavasti:

Muoto Lyhenne Kaikki A:t ovat B AaBMitkään A:t eivät ole BAeBJotkut A:t ovat BAiBJotkut A:t eivät ole BAoB

Kirjaimella S merkitään usein johto­päätöksen subjektia ja P:llä sen predikaattia, kun taas väli­termiä merkitään kirjaimella M. Tällöin pääpremissi yhdistää termit M ja P, alipremissi termit M ja S. väli­termi kuitenkin voi olla kummassakin premississä, jossa se esiintyy, yhtä hyvin subjektina kuin predikaattinakin. Sen perusteella, missä asemassa pää-, ali- ja väli­termi esiintyvät, syllogismit voidaan ryhmitellä myös neljään luokkaan, joita sanotaan kuvioiksi. Jos johto­päätöksen termit ovat aina S ja P, neljä kuviota ovat seuraavat:

Kuvio 1 Kuvio 2 Kuvio 3 Kuvio 4 Pääpremissi: M–P P–M M–P P–M Alipremissi: S–M S–M M–S M–S

Aristoteleen alkuperäiseen esitykseen ei neljäs kuvio sisältynyt, vaan sen lisäsi myöhemmin Theofrastus.. Myöhemminkään esimerkiksi Peter Abelard ja Jean Buridan eivät pitäneet sitä ensimmäisestä erotettavana kuviona.

Kaiken kaikkiaan on 256 mahdollista syllogismin tyyppiä (tai 512, jos pää- ja ali­premissi vaihdetaan keskenään, millä ei kuitenkaan logiikan kannalta ole merkitystä). Kumpikin premissi ja johto­päätös voivat olla tyyppiä A, E, I tai O, ja syllogismi voi olla neljästä kuviosta minkä tahansa mukainen. Syllogismi voidaan kuvata lyhyesti premissejä ja johto­päätöksiä vastaavilla kirjaimilla sekä kuvion numerolla. Esimerkiksi jäljempänä kuvattu Barbara-syllogismi on AAA-1 eli "A-A-A ensimmäisessä kuviossa". Suurin osa näin 256 mahdollisesta syllogismista on kuitenkin epä­päteviä, eli johto­päätös ei ole premissien looginen seuraus. Vain 24 syllogismia on päteviä. Niistäkin muutamat ovat päteviä vain, jos premisseillä katsotaan olevan eksistentiaalinen merkitys, toisin sanoen jos esimerkiksi lauseeseen "kaikki A:t ovat B" katsotaan sisältyvän, että on olemassa ainakin yksi A, tai jos tämä erikseen oletetaan (tarkemmin jäljempänä osissa "Eksis­tenti­aalinen merkitys"). Muussa tapauksessa ne voivat johtaa eksis­tenti­aaliseen virhe­päätelmään.