thumb|370px|Yhtenevyys on esimerkki ekvivalenssirelaatiosta. Vasemmanpuoleiset kaksi kolmiota ovat yhteneviä, kun taas kolmas ja neljäs kolmio eivät ole yhteneviä minkään muun tässä kuvatun kolmion kanssa. Näin ollen kaksi ensimmäistä kolmiota kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan, kun taas kolmas ja neljäs kolmio muodostavat kumpikin oman ekvivalenssiluokkansa.
Ekvivalenssiluokka on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvivalentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi. Ekvivalenssiluokka on siis joukko , missä on joukon ekvivalenssirelaatio ja .
Ekvivalenssirelaation määritelmästä seuraa, että ekvivalenssiluokat muodostavat joukon osituksen. Ekvivalenssiluokkien joukkoa sanotaan joukon A tekijäjoukoksi relaation R suhteen, ja sitä merkitään A / R.
Kun joukolla A on jokin struktuuri ja ekvivalenssirelaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijäjoukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijärenkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa.
Merkintä ja muodollinen määritelmä
Ekvivalenssirelaatio on binäärirelaatio ~, jolla on seuraavat kolme ominaisuutta:
Jokainen joukon X alkio a on relaatiossa itsensä kanssa eli (refleksiivisyys) Jos , niin (symmetrisyys) Jos ja , niin (transitiivisuus)
Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio a kuuluu, käytetään merkintää , ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa ~ alkion a kanssa eli ekvivalentteja alkion a kanssa:
Jos ekvivalenssirelaatiolle käytetään merkintää R, voidaan sille ekvivalenssiluokalle, johon a kuuluu, käyttää myös merkintää . Sitä sanotaan myös a:n R-ekvivalenssiluokaksi.
Kaikkien X:n ekvivalenssiluokkien joukolle ekvivalenssirelaation R suhteen käytetään merkintää , ja sitä sanotaan X:n tekijäjoukoksi R:n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä X modulo R. Surjektiota joukosta X joukolle X/R, joka kuvaa jokaisen alkion ekvivalenssiluokalleen, sanotaan kanoniseksi surjektioksi tai kanoniseksi projektioksi.
Kun jokaisesta ekvivalenssiluokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan sektioksi. Jos tälle sektiolle käytetään merkintää s, saadaan jokaiselle ekvivalenssiluokalle c. Alkiota s(c) sanotaan c:n edustajaksi. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvivalenssiluokan edustajaksi.
Toisinaan jotakin sektiota voidaan pitää "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvivalenssiluokkien edustajia sanotaan kanonisiksi edustajiksi. Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvivalenssirelaatioon, jossa , jos on jaollinen annetulla kokonaisluvulla n, jota sanotaan modulukseksi. Jokaiseen ekvivalenssiluokkaan kuuluu vain yksi ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on pienempi kuin n, ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää a mod n voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun a jaetaan n:llä).
Esimerkkejä
Olkoon X on kaikkien autojen joukko ja ~ ekvivalenssirelaatio "on saman värinen kuin". Tällöin yhden ekvivalenssiluokan muodostavat kaikki vihreät autot. Tekijäjoukko X/~ voidaan luonnollisesti samastaa kaikkien niiden värien joukon kanssa, joita autoilla on, ja sen kardinaliteetti on autojen eri värien lukumäärä. Olkoon X kaikkien suomenkielisten etunimien joukko ja ~ ekvivalenssirelaatio "alkaa samalla kirjaimella kuin". Tällöin ekvivalenssiluokat ovat [Aatami]={Aatami, Anna, Antti, Aino,...} [Belle]={Belle, Bettiina,...} ja niin edelleen aina aakkosten loppuun asti. Tällöin ekvivalenssiluokkia on yhtä monta kuin kirjaimia aakkosissa. Olkoon X on tason kaikkien suorakulmioiden joukko ja ~ ekvivalenssirelaatio "on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin". Tällöin jokaista positiivista reaalilukua A vastaa ekvivalenssiluokka, johon kuuluvat kaikki suorakulmiot, joiden pinta-ala joissakin annetuissa yksiköissä on A. Olkoon X kokonaislukujen joukko ja ~ ja siinä määritelty ekvivalenssirelaatio: x ~y, jos ja vain jos x - y on parillinen luku. Tällöin ekvivalenssiluokkia on kaksi: toiseen kuuluvat kaikki parilliset ja toiseen kaikki parittomat kokonaisluvut. Tässä relaatiossa luvut 7, 9 ja 1 ovat kaikki tekijäjoukon saman alkion edustajia. Olkoon X jonkin (vähintään viikon pituisen) aikavälin kaikkien päivien joukko ja ~ siinä määritelty ekvivalensirelaatio: x ~ y, jos ja vain jos päivästä x päivään y tai päivästä y päivään x kuluvien (tai kuluneiden) vuorokausien lukumäärä on jaollinen 7:llä. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että päivät x ja y ovat samana viikonpäivänä, ja joukkoon X\~ alkiot eli ekvivalenssiluokat ovat seitsemän viikonpäivää. Olkoon X kokonaislukujen sellaisten järjestettyjen parien (a, b) joukko, joissa b ei ole nolla, ja ~ siinä määritelty ekvivalenssirelaatio: (a,b) ~ (c,d), jos ja vain jos ad = bc. Tällöin kutakin ekvivalenssiluokkaa (a,b) vastaa murtoluku a/b, ja tätä ekvivalenssirelaatiota voidaankin käyttää rationaalilukujen muodollisena määritelmänä samastamalla rationaaliluvut tällaisten ekvivalenssiluokkien kanssa. Samalla tavalla voidaan mistä tahansa kokonaisalueesta muodostaa sitä vastaavien "murtolukujen" kunta. Olkoon X eulidisen tason kaikkien suorien joukko ja määritellään relaatio ~ niin, että L ~ M, jos ja vain jos suorat L ja M ovat yhdensuuntaisia tai jos L ja M ovat sama suora. Tällöin relaatio on ekvivalenssirelaatio, ja kaikkien suorien joukko, jotka ovat yhdensuuntaisia L:n kanssa, on ekvivalenssiluokka. Jokaista tällaista ekvivalenssiluokkaa vastaa tietyn suuruinen kulma, jonka siihen kuuluvat suorat muodostavat esimerkiksi x-akselin suuntaisten suorien kanssa. Samalla jokainen tällainen ekvivalenssiluokka määrittelee yhden ideaalisen, äärettömän kaukaisen pisteen.
Ominaisuuksia
Jokainen alkio kuuluu johonkin ekvivalenssiluokkaan [x]. Elleivät ekvivalenssiluokat [x] ja [y] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvivalenssiluokkien joukko muodostaa joukon X osituksen: jokainen X:n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvivalenssiluokkaan. Kääntäen jokaista X:n ositusta vastaa ekvivalenssirelaatio, jossa x ~ y, jos ja vain jos x ja y kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon.
ekvivalenssirelaation ominaisuuksista seuraa, että , jos ja vain jos [x] = [y].
.
Graafinen esitys
Jokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos ~ on joukon X ekvivalenssirelaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon X alkioita niin, että s ja t yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos s ~ t. Tässä esityksessä ekvivalenssiluokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella.
Invariantit
Olkoon ~ on X:n ekvivalenssirelaatio ja P jokin sellainen joukon X alkioiden ominaisuus, että jos x ~ y ja alkiolla x on ominaisuus P, myös alkiolla y on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta P sanotaan relaation ~ invariantiksi tai että ominaisuus P on hyvin määritelty relaation ~ suhteen.
Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Jos f(x1) = f(x2 aina, kun x1 ~ x2, kuvausta f sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka luokkainvariantiksi tai lyhyemmin invariantiksi relaation ~ suhteen.
Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että "f on yhteensopiva relaation ~ kanssa.
Jokainen funktio f ; X → Y määrittelee samalla myös lähtöjoukossa X:n erään ekvivalenssirelaation, jossa x1 ~ x2, jos ja vain jos f(x1 = f(x2). ekvivalenssiluokan x muodostavat kaikki ne X:n alkiot, jotka kuvautuvat f(x):lle, toisin sanoen luokka [x] on joukon {f(x)} alkukuva. Tätä ekvivalenssirelaatiota sanotaan kuvauksen f kerneliksi.
Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon X ekvivalentit alkiot (ekvivalenssirelaation ~x suhteen) maalijoukon Y ekvivalenteille alkioille (ekvivalenssirelaation ~y suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan morfismiksi X:stä Y'':hyn.
Tekijäavaruus Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvivalenssirelaatiota vastaavat ekvivalenssiluokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa.
Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvivalenssiluokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijäavaruus on tekijäjoukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijäavaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta.
Lähteet
Kirjallisuutta
Luokka:Joukko-oppi