Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio eli momenttiemäfunktio on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty funktio, joka on yleinen menetelmä laskea jakauman tunnuslukuja eli momentteja. Diskreetin jakauman momenttifunktio muodostetaan pistetodennäköisyysfunktion ja jatkuvan jakauman momenttifunktio tiheysfunktion avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.
Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan kompleksilukulaskentaan, helpottaa suurten lukujen lain soveltamista ja Markovin ketjujen analysointia.
Määritelmä Jos on diskreetti satunnaismuuttuja, satunnaismuuttujan perusjoukko ja sen pistetodennäköisyysfunktio. Silloin reaalimuuttujan funktio
on satunnaismuuttujan momenttifunktio kunhan odotusarvo
on olemassa avoimella välillä (). Luku määräytyy siten, että momenttifunktio on äärellisenä olemassa kaikilla välin arvoilla. Momenttifunktio on siten funktion kuvaus
Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla
Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin eksponenttifunktio voidaan avata Taylorin sarjaksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet
missä ... ovat momentteja (katso alla).
Esimerkkejä Diskreetti satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja saa vain kolme arvoa todennäköisyyksillä vastaavasti. Silloin :n jakauman momenttifunktio on
kaikille
Jatkuva satunnaismuuttuja Jos satunnaismuuttuja on tasaisesti jakautunut välille [0,1], on sen tiheysfunktio tällä välillä Silloin momenttifunktio lasketaan
Ominaisuuksia Momenttifunktiolla on joitakin ominaisuuksia, joita voidaan käyttää hyödyksi yhden tai useamman satunnaismuuttujan jakaumissa. Merkitään satunnaismuuttujien ja momenttifunktioita ja . Mikäli , niin Jos (aina), niin Jos muuttujan origon ympäristössä, on satunnaismuuttujilla ja sama jakauma. Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomat, on niiden summan momenttifunktio Monitermiset summat muodostetaan vastaavalla tavalla.
Todennäköisyydet generoiva funktio liittyy momenttifunktioihin seuraavasti:
Momentteja
Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää tavallisia momentteja eli origomomentteja tai keskusmomentteja missä Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös tekijämomentteja, jotka määritellään
Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun derivaattojen arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan r. origomomentit: Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä): , jolloin , jolloin , jolloin , jolloin
Kaksiulotteinen yhteisjakauma Origomomentit generoiva funktio Diskreetit satunnaismuuttujat ja muodostavat yhteisjakauman todennäköisyysfunktiolla Yhteisjakauman momenttifunktio on myös kaksiarvoinen funktio
Jatkuvilla satunnaismuuttujilla momenttifunktio kirjoitetaan
Kun saadaan satunnaismuuttujan momenttifunktio
ja arvolla saadaan satunnaismuuttujan momenttifunktio Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:
Keskusmomentit generoivat funktiot Yhden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan ja niitä generoiva funktio vastaavasti
Näistä toinen derivaatta
on varianssi.
Kahden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan ja niitä generoiva funktio vastaavasti
Näistä toinen osittaisderivaatta
on kovarianssi.
Lähteet
Aiheesta muualla http://www.statlect.com/subon2/momgen1.htm http://www.le.ac.uk/users/dsgp1/COURSES/MATHSTAT/6normgf.pdf https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/MAT135B/materials/ch10.pdf http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter10.pdf http://web.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap6.pdf http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst/PDFS/SEC_2_f.pdf
Luokka:Tilastotiede Luokka:Todennäköisyyslaskenta