thumb|400px|Hyperbolisten funktioiden kuvaajat Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.
Määritelmät
Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:
Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:
Näiden suhde on hyperbolinen tangentti
Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:
Muunnoskaavoja
Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:
, koska on parillinen funktio.
Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.
Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli
Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:
,
voidaan yksikköhyperbelin (x2 - y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa
.
Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.
Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.
Derivaatat
Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:
Hyperbolisen tangentin derivaatta on
Funktiot kompleksialueessa
Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:
saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:
Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on , hyperbolisen tangentin .
Katso myös Alkeisfunktio
Lähteet
Kirjallisuutta
Aiheesta muualla
GonioLab : Havainnollistamaittu trigometria
Luokka:Funktiot Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit