thumb|350px|Pöydästä toistuvasti kimpoava pallo, josta on otettu stroboskooppikuva 25 kertaa sekunnissa. Kuvat yhdessä osoittavat pallon liikeradan. Ellei ilmanvastusta oteta huomioon, pallon ja pöydän välisen törmäyksen kimmoisuusaste voidaan laskea neliöjuurena kunkin ponnahduksen korkeuden suhteesta edellisen ponnahduksen korkeuteen.
Kimmoisuusaste, restituutiokerroin eli sysäyskerroin (tunnus e) on niiden nopeuksien suhde, jotka kahdella toisiinsa törmäävällä kappaleella on toistensa suhteen törmäyksen jälkeen ja ennen törmäystä. Se on yleensä arvojen 0 ja 1 välillä, missä 1 merkitsee täysin kimmoista törmäystä. Täysin kimmottoman törmäyksen kimmoisuusaste on 0, mutta arvo 0 ei välttämättä merkitse täysin kimmotonta törmäystä. Kimmoisuusaste voidaan mitata Leebin kovuuskokeella, jossa saatu arvo on tuhat kertaa kimmoisuusaste, mutta tulos pätee vain koetta vastaavissa olosuhteissa eikä ole testattavan materiaalin yleinen kimmoisuusaste.
Kimmoisuusaste on lähes aina pienempi kuin 1, koska osa kappaleiden alkuperäisestä liike-energiasta muuttuu niiden pyörimisliikkeen liike-energiaksi, kuluu plastisiin muodonmuutoksiin tai muuttuu lämmöksi. Se voi kuitenkin olla myös suurempi kuin 1, jos energiaa vapautuu esimerkiksi törmäyksen käynnistämän kemiallisen reaktion vaikutuksesta, tai jos niiden pyörimisliike törmäyksessä hidastuu tai jos niiden sisäenergia muutoin vähenee tavalla, joka vaikuttaa niiden nopeuteen törmäyksen jälkeen.
Kimmoisuusasteella ja kappaleiden (suhteellisella) liike-energialla on yhteys
Kimmoisuusasteen matematiikan kehitti Isaac Newton vuonna 1687.
Törmäyssuora
Törmäyssuora on suora, joka törmäyksen tapahtuessa kulkee kappaleiden kosketuskohdan kautta ja on kohtisuorassa niitä tässä pisteessä sivuavaan tasoon nähden. Jos kappaleiden painopisteet ovat tällä suoralla, kyseessä on keskeinen, muussa tapauksessa epäkeskeinen törmäys. Jos kappaleet ennen törmäystä liikkuvat toistensa suhteen törmäyssuoran suuntaisesti, törmäys on suora, muussa tapauksessa vino.
Kimmoisuusasteen arvot eri väleillä
Kimmoisuusaste e on tavallisesti positiivinen reaaliluku 0:n ja 1:n välillä. Sen eri arvot luonnehtivat törmäystä seuraavati:
e = 0: Kyseessä on täysin kimmoton törmäys, jonka jälkeen kappaleet jäävät kiinni toisiinsa eli niiden nopeus ja samalla liike-energia toistensa suhteen on nolla. Liike-energia muuttuu kokonaisuudessaan lämmöksi tai kuluu kappaleiden muodonmuutoksen edellyttämään työhön.
0 < e < 1: Kyseessä on tavanomainen kimmoton törmäys, jossa osa vain osa liike-energiasta muuttuu lämmöksi tai kuluu kappaleiden muodonmuutoksiin. Kappaleet eivät jää kiinni toisiinsa, mutta niiden nopeus toistensa suhteen on törmäyksen jälkeen pienempi kuin ennen sitä.
e = 1: Kyseessä on täysin kimmoinen törmäys, jossa liike-energiaa ei menetetä. Törmäyksen jälkeen kappaleet etääntyvät toisistaan yhtä suurella nopeudella toistensa suhteen kuin ne sitä ennen lähestyvät toisiaan.
e < 0: Nollaa pienempi kimmoisuusaste kuvaa törmäystä, jossa kappaleiden liike toistensa suhteen on törmäyksen jälkeen samansuuntainen kuin sitä ennen. Tämä merkitsee, että toinen kappaleista pääsee toisen läpi jäämättä siihen täysin kiinni. Liikemäärä siirtyy vain osittain kappaleelta toiselle. Esimerkkinä voidaan ajatella pientä, tiheää kappaletta, joka kulkee suuren, vähemmän tiheän kappaleen läpi, esimerkiksi ampuma-aseen luotia, joka kulkee maalitaulun läpi tehden siihen reiän tai vuotavan padon läpi syöksyvää aaltoa.
e > 1: Tämä kuvaa törmäystä, jossa energiaa vapautuu. Esimerkiksi kahden nitroselluloosakuulan törmätessä toisiinsa ne räjähtävät tärmäyksen hetkellää. Nykyisin tiedetään, että tietyissä erikoistapauksissa vinojen törmäysten kimmoisuusaste voi ilman räjähdystäkin olla suurempi kuin yksi. Tällaiset ilmiöt johtuvat kitkan aiheuttamista muutoksista kimmonneiden kappaleiden liikenergiaa. Jäykän systeemin täydellisessä räjähdyksessä kimmoisuusaste voi olla jopa ääretön.
Tarkemmin tutkittaessa osoittautuu, että jokaisessa törmäyksessä, jolla 0 < e ≤ 1, voidaan erottaa kaksi vaihetta. Ensimmäisessä vaiheessa kappaleissa tapahtuu muodonmuutoksia, joiden aikana niiden suhteellinen nopeus pienenee nollaan. Tällöin kappaleiden liike-energia muuttuu kimmovoimia vastaan tehdyn työn vaikutuksesta potentiaalienergiaksi ja, elleivät ne ole konservatiivisia, osittain lämmöksi. Jälkimmäisen vaiheen aikana muodonmuutokset yleensä ainakin osittain palautuvat, ja ellei törmäys ole täysin kimmoton, potentiaalienergia muuttuu ainakin osittain takaisin liike-energiaksi. Ensimmäisen vaiheen päättyessä on hetki, jolloin kimmosessakin törmäyksessä kappaleiden nopeus toistensa suhteen on nolla. Silloin niiden tilapäinen, palautuva muodonmuutos on maksimissaan, ja voidaan sanoa, että sillä hetkellä kimmoisuusaste e on hetkellisesti nolla.
Kappalepari
Kimmoisuusaste ei ole yksittäisen kappaleen, vaan kahden kappaleen muodostaman systeemin eli parin ominaisuus. Jos sama kappale törmää kahteen eri kappaleeseen, kummallakin törmäyksellä voi olla hyvin erisuuri kimmoisuusaste. Kun kappaletta kuvaillaan ilmoittamalla sen muiden ominaisuuksien ohella myös törmäysaste, ikään kuin se olisi kappaleen sisäinen ominaisuus, tarkoitetaan kimmoisuusastetta kappaleen törmätessä toiseen samanlaiseen kappaleeseen tai jäykkään seinään.
Täysin jäykkiä seiniä ei todellisuudessa ole olemassa, mutta sellaista voidaan approksimoida teräsesteellä tutkittaessa sellaisten pallojen kimmoisuusastetta, joiden kimmomoduuli on paljon pienempi kuin teräksen.
Yhteys energian ja liikemäärän säilymiseen
Yksiulotteisen törmäyksen kaksi perusperiaatetta ovat energian säilyminen (kimmoisessa törmäyksessä liike-energian säilyminen) ja liikemäärän säilyminen. Näistä kahdesta voidaan johtaa kolmas yhtälö, edellä esitetty restituutioyhtälö. Törmäyksiä koskevien probleemojen ratkaisemiseen riittää mitkä tahansa kaksi näistä kolmesta. Restituutioyhtälön etuna on, että se toisinaan tarjoaa helpomman lähestymistavan probleemaan.
Olkoot ja kappaleiden 1 ja 2 massat ja ja niiden nopeudet ennen törmäystä. Käytetään niiden nopeuksille törmäyksen jälkeen merkintöjä ja . Saadaan:
Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan:
ja toisesta:
Jakolaskun jälkeen:
Tämä on restituutioyhtälö, ja kimmoisuusaste eli restituutiokerroin on 1, mikä vastaa täysin kimmoista törmäystä.
Urheiluvälineet
Kimmoisuusasteen käsite tuli suurelle yleisölle tai ainakin golfin pelaajille tutuksi, kun golfvälineiden valmistajat alkoivat tehdä ohutpintaisia, taipuisia mailoja, joissa esiintyy niin sanottu trampoliini-imiö: energiaa varastoituu mailoihin siten, että niillä lyötäessä pallo lentää entistä pitemmälle. Johtava yhdysvaltalainen golfjärjestö USGA on ryhtynyt testaamaan mailoja kimmoisuusasteen määrittämiseksi ja asettanut ylärajan 0.83:een. Huhtikuussa 2006 Steven J. Quintavalla sai asiasta laadituksi yksityiskohtaisemman selostuksen (nro RB/co42006-01), joka käsittelee viittä ammattigolfaajien eniten käyttämiin kuuluvaa pallotyyppiä. Raportissa kiinnitetään erityistä huomiota kimmoisuusasteseen. Keinotekoisten polymeerien eli muovien luonteesta johtuu, että niihin kohdistuva rasitus ja jännitys ei ole newtonilainen, toisin kuin muun muassa fluideilla ja myös metalleilla olisi asian laita. Tämän vuoksi kimmoisuusaste riippuu myös lyöntinopeudesta ja pienenee nopeuden kasvaessa. USGA on selvästi ilmoittanut, että mitään lisäetua saada nostamalla lyöntinopeus yli 90 mailiin tunnissa. Raportin mukaan kimmoisuusaste on 0,845 lyöntinopeuden ollessa 90 mailia tunnissa, mutta se pienenee arvoon 0,797 lyöntinopeuden noustessa 130 mailiin tunnissa. Edellä mainuttu trampoliini-ilmiö osoittaa tämän selvästi, sillä se pienentää törmäykseen liittyvää jännitystä ja näin ollen "pidentää" törmäyksen kestoa.
Erään artikkelin mukaan kaikilla tennismailoilla kimmoisuusaste on normaalisti 0,85, joskin jänteiden kireys ja kehyksen jäykkyys voivat saada aikaan poikkeamia.
Pöytätenniksen sääntöjen mukaan käytettävän pöydän on oltava sellainen, että pöytätennispallo kimpoaa noin 23 cm:n korkeuteen, kun se pudotetaan pöydälle 30 cm:n korkeudesta. Tämä merkitsee, että pallon ja pöydän välisen törmäyksen kimmoisuusasteen on oltava välillä 0,89...0,92. Kun nahkainen koripallo putoaa linoleumilla päällystetylle kovalle betonilattialle, törmäyksen kimmoisuusaste on noin 0,81..0,85.
Yhtälöt Kahden kappaleen, A ja B yksiulotteisessa törmäyksessä kimmoisuusaste saadaan yhtälöstä
, missä:
on kappaleen A nopeus törmäyksen jälkeen, on kappaleen B nopeus törmäyksen jälkeen,
on kappaleen A nopeus ennen törmäystä ja on kappaleen B nopeus ennen törmäystä.
Vaikka kimmoisuusaste e: itsessään ei suoraan riipukaan kappaleiden massoista, on huomattava, että nopeudet törmäyksen jälkeen riippuvat myös niiden massoista. Jäykkien kappaleiden kaksi- ja kolmiulotteisissa törmäyksissä käytetyt nopeudet ovat niiden nopeuksien niiden yhteiseen tangenttitasoon nähden kohtisuorat komponentit, toisin sanoen törmäyssuoran suuntaiset komponentit.
Kun kappale kimpoaa kiinteästä esteestä, e saadaan sen nopeuden suhteena, joka kappaleella törmäyksen jälkeen, siihen nopeuteen, joka sillä oli ennen törmäystä:
, missä
on kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen ja on kappaleen nopeus ennen törmäystä.
Tapauksissa, joissa kitka voidaan jättää huomioon ottamatta ja kappale pudotetaan levosta vaakasuoralle pinnalle, tämä on yhtäpitävää seuraavien kanssa:
, missä
on korkeus, jolta kappale pudotetaan, ja on korkeus, jolle kappale kimpoaa.
Kimmoisuusaste voidaan käsittää mitaksi sille, kuinka suurelta osaltaan mekaaninen energia säilyy, kun kappale kimpoaa pinnalta. Siinä tapauksessa, että kappale kimpoaa paikoillaan pysyvästä kohteesta, gravitaatiopotentiaalienergian PE muutos itse törmäyksen aikana on käytännössä nolla, ja näin ollen e liittyy siihen, kuinka suuri kappaleen liike-energia on törmäyksen jälkeen verrattuna siihen, kuinka suuri se oli ennen törmäystä:
Jos kitkavoimat voidaan jättää huomioon ottamatta (kuten on laita lähes kaikissa opiskelijalaboratorioissa, joissa asiaa kokeillaan) ja kappale pudotetaan levosta vaakasuoralle pinnalle, voidaan yhtä hyvin vertailla kappaleen potentiaalienergiaa lähtötilanteessa (pudotuskorkeudella) ja sillä hetkellä, jolloin se kimmottuaan on korkeimmillaan (kimpoamiskorkeudella). Tässä tapauksessa kappaleen liike-energia on nolla sekä lähtötilanteessaan että sen ollessa törmäyksen jälkeen korkeimmillaan, ja näin ollen:
Nopeudet törmäyksen jälkeen
Kimmoisia törmäyksiä koskevia yhtälöt voidaan muuntaa niin, että niissä otetaan huomioon kimmoisuusaste, jolloin niitä voidaan soveltaa myös kimmottomiin törmäyksiin.
and
missä
on ensimmäisen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen, on toisen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen, on ensimmäisen kappaleen nopeus ennen törmäystä, on toisen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen, on ensimmäisen kappaleen massa ja on toisen kappaleen massa.
Johto Edellä esitetyt yhtälöt voidaan johtaa ratkaisemalla analyyttisesti yhtälöryhmä, joka voidaan muodostaa kimmoisuusasteen määritelmän ja kaikissa törmäyksissä pätevän liikemäärän säilymislain avulla. Käyttämällä edellä esitettyjä merkintöjä, joissa tarkoittaa nopeuksia ennen törmäystä ja nopeuksia törmäyksen jälkeen, saadaan:
Ratkaisemalla ensimmäisestä, liikemäärän säilymistä kuvaavasta yhtälöstä ja jälkimmäisestä, kimmoisuusasteen määritelmää esittävästä yhtälöstä saadaan:
Korvataan tämän jälkeen va:lle saadussa lausekkeessa vb sille johdetulla lausekkeella saadaan edelleen:
Vastaavalla tavalla voidaan johtaa lauseke myös :lle.
Kimmoisuusasteen riippuvuus kappaleen muodosta ja törmäyksen suunnasta