right|thumb|Torus on orientoituva pinta right|thumb|Möbiuksen nauha on ei-orientoituva pinta. Kun kuvan rapu tekee täyden kierroksen pinnan ympäri, sen oikea ja vasen puoli ovat vaihtuneet. Näin ei tapahtuisi, jos se liikkuisi toruspinnalla. right|thumb|Steinerin roomalainen pinta on ei-orientoituva. Suunnistuvuus eli orientoituvuus on matematiikassa useiden topologisten avaruuksien, kuten reaalisten vektoriavaruuksien, euklidisten avaruuksien, pintojen ja muiden monistojen ominaisuus, joka tekee mahdolliseksi määritellä tällaisessa avaruudessa ristiriidattomasti kiertosuunnat myötäpäivään ja vastapäivään. Topologinen avaruus on suunnistuva eli orientoituva, jos tällainen määritelmä voidaan asettaa. Siinä tapauksessa on itse asiassa kaksikin vaihtoehtoista tapaa määritellä nämä kiertosuunnat, ja valinta niiden välillä on avaruuden suunnistus eli orientaatio. Reaaliset vektoriavaruudet, euklidiset avaruudet ja pallot ovat suunnistuvia. Avaruus on suunnistumaton (orientoitumaton), jos siinä jokainen geometrinen muoto voidaan muuntaa peilikuvakseen siirtämällä se jotakin sopivasti valittua silmukkaa pitkin täyden kierroksen verran; esimerkiksi kuvio 20px muuntuu tällöin kuvioksi 20px. Esimerkiksi Möbiuksen nauha on suunnistumaton pinta.
Suunnistuvuuden määritelmälle voidaan esittää useita yhtäpitäviä muotoilua sovelluksesta ja yleisyystasosta riippuen. Yleisiin topologisiin avaruuksiin sovellettavat määritelmät muotoillaan usein homologiateorian käsittein, kun taas differentioituvien monistojen rakenne tekee mahdolliseksi määritellä käsite differentiaalisten muotojen avulla. Muuan avaruuden suunnistuvuuden käsitteen yleistys on avaruusperheen suunnistuvuus, joka parametroidaan toisen avaruuden (säiekimpun) avulla, jolloin orientaatio on valittava jokaiselle avaruudelle, joka muuntuu jatkuvasti parametriarvojen muutosten suhteen.
Suunnistuvat pinnat thumb|300px|right|Tässä animaatiossa on muodostettu yksinkertainen analogia hammaspyörän avulla, joka pyörii oikean käden säännön mukaisesti pinnan normaalivektorin suhteen. Aluetta rajoittavien käyrien orientaation määrittää suunta, johon niillä olevat täplät liikkuvat hammaspyörän pyöriessä. Suunnistumattomalla pinnalla kuten Möbiuksen nauhalla reunojen pitäisi liikkua samanaikaisesti molempiin suuntiin, mikä ei ole mahdollista.
Euklidisessa avaruudessa oleva pinta S on suunnistuva, jos kaksiulotteista kuviota (esimerkiksi 20px) ei voida siirtää pintaa pitkin ja takaisin alkuperäiselle paikalleen siten, että se kierroksen jälkeen näyttää alkuperäisen peilikuvalta (20px). Muussa tapauksessa pinta on suunnistumaton. Yleisempi abstrakti pinta eli kaksiulotteinen monisto on suunnistumaton, jos pinnalla voidaan jatkuvasti ja ristiriidattomasti määritellä myötäpäiväinen kiertosuunta. Tämä merkitsee, että silmukkaa ei voida jatkuvasti muuntaa silmukaksi, joka kulkee saman reitin päinvastaiseen suuntaan, ilman että se jossakin vaiheessa leikkaa itsensä. Voidaan osoittaa, että pinta on suunnistumaton, jos ja vain jos sillä on aliavaruus, joka on homeomorfinen Möbiuksen nauhan kanssa. Möbiuksen nauha voidaan siis käsittää kaiken suunnistumattomuuden alkulähteeksi.
Suunnistuvalla pinnalla sopimusta siitä, minkä kiertosuunnan sanotaan olevan "myötäpäivään" ja minkä "vastapäivään", sanotaan suunnistukseksi, ja kun valinta on tehty, pintaa sanotaan suunnistetuksi eli orientoiduksi. Euklidiseen avaruuteen upotettu pinta on suunnistuva, jos sille on määriteltävissä pinnan pisteestä P toiseen jatkuvasti muuntuva pinnan normaalin suuntainen yksikkövektori . Tällöin sitä puolta pintaa, jolla osoittaa ulospäin, sanotaan pinnan positiiviseksi, toista puolta negatiiviseksi puoleksi.Jos tällainen yksikkövektorifunktio on olemassa, on aina kaksi vaihtoehtoista tapaa valita se. Kolmiulotteisessa avaruudessa olevien pintojen tapauksessa tämä vastaa sitä, että pintaa voidaan katsoa joko toiselta tai toiselta puolelta, jolloin kiertosuunnat "myötäpäivään" ja "vastapäivään" määräytyvät sen mukaan.
Suunnistuva pinta on siis pinta, jolle voidaan määritellä kaksi vaihtoehtoista suunnistusta. Kun jompikumpi niistä on valittu, pinta on suunnistettu. Käytännössä näiden käsitteiden välillä ei kuitenkaan aina tehdä selvää eroa.
Esimerkkejä
Useimmat fyysisessä maailmassa tapaamamme pinnat ovat suunnistuvia. Sellaisia ovat esimerkiksi pallopinnat, tasot ja toruspinnat. Sen sijaan Möbiuksen nauha, reaalinen projektiivinen taso ja Kleinin pullo ovat suunnistumattomia.
Yksi- ja kaksipuoliset pinnat Kolmiulotteisen avaruuden suunnistumattomat pinnat ovat samalla yksipuolisia pintoja, sillä ne eivät jaa avaruutta tai mitään sellaista avaruuden osaa, johon ne kokonaan sisältyvät, kahteen osaan, esimerkiksi pinnan ylä- ja alapuolella taikka sisä- ja ulkopuolella olevaksi alueeksi. Suunnistuvat pinnat kuten pallonpinta ovat sen sijaan kaksipuolisia. Reaalista projektiivista tasoa ja Kleinin pulloa ei kuitenkaan voida sellaisenaan toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa . Sen sijaan on kyllä mahdollista rakentaa Kleinin pulloa esittävä mallikappale, joka eroaa oikeasta Kleinin pullosta siten, että se leikkaa itsensä jotakin käyrää myöten.
On kuitenkin huomattava, että lokaalisti jokaisella kolmiulotteiseen avaruuteen upotetulla pinnalla on kaksi puolta. Niinpä jos kuvitellaan jonkin otuksen, esimerkiksi muurahaisen ryömivän jossakin kohdassa Möbiuksen pinnalla, tämän otuksen kannalta pinnalla on siinä kohdassa toinenkin puoli. Yksipuolisuus merkitsee sitä, että tämä otus voi päästä samaan kohtaan "toiselle puolelle" kulkematta pinnan läpi tai sen reunan yli, pelkästään ryömimällä sitä pitkin tarpeeksi pitkälle.
Yleisimmässä tapauksessa pinnan suunnistuvuus ei kuitenkaan ole sama asia kuin kaksipuolisuus. Suunnistuvuus on nimittäin pinnan sisäinen, intrinsinen eli pinnan itsensä ominaisuus, kun taas yksi- tai kaksipuolisuus riippuvat myös siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. Pinnan suunnistuvuus ja kaksipuolisuus ovat kuitenkin yhtäpitäviä ominaisuuksia silloin, kun tämä laajempi avaruus itse on suunnistuva, jollainen esimerkiksi on. Sen sijaan esimerkiksi avaruuteen , missä on Kleinin pullo, upotettu torus voi olla yksipuolinen ja samaan avaruuteen upotettu Kleinin pullo kaksipuolinen.
Suunnistus triangulaation avulla
Jokaisella pinnalla on triangulaatio eli se voidaan jakaa kolmioiksi siten, että jokaisen kolmion kukin sivu on samalla enintään yhden toisen kolmion sivu. Jokainen kolmio voidaan suunnistaa valitsemalla kiertosuunta kolmion reunaa pitkin, jolloin samalla kolmion jokaiselle sivulle tulee valituksi suunta. Jos tämä tehdään niin, että toisiinsa rajoittuvilla kolmiolla yhteisen sivun suunnat eri kolmiossa ovat vastakkaiset, tulee samalla määritellyksi suunnistus koko pinnalle. Tämä on kuitenkin mahdollista vain, jos pinta on suunnistuva, ja siinä tapauksessa on tasan kaksi mahdollista suunnistusta.
Jos kuvio 20px voidaan asettaa pinnalle mihin tahansa kohtaan eikä sitä voida jatkuvasti siirtää niin, että se muuttuisi peilikuvakseen, tämä määrittää orientaation edellä sanotussa mielessä triangulaation jokaiselle kolmiolle vallitsemalla jokaisen kolmion kiertosuunta siten, että se vastaa värien järjestystä punainen-vihreä-sininen, kun kuvio on sijoitettu kolmion sisään.
Tämä menettely voidaan yleistää jokaiselle n-monistolle, jolla on triangulaatio. Kaikilla 4-monistoilla ei kuitenkaan ole triangulaatiota, ja joillakin n-monistoilla, kun n>4, on triangulaatioita, jotka eivät tässä mielessä johda samaan tulokseen.
Suunnistuvuus ja homologia
Käytetään pinnan S ensimmäiselle homologiaryhmälle merkintää H1(S). Pinta S on suunnistuva, jos ja vain jos ryhmällä H1(S) on triviaali torsioaliryhmä. Täsmällisemmin sanottuna jos S on suunnistuva, niin H1(S) on vapaa Abelin ryhmä, ja jos se ei sellainen ole, niin H1(S) = F + Z/2Z, missä F on vapaa Abelin ryhmä ja tekijäryhmän Z/2Z generoi S:ssä olevan Möbiuksen nauhan keskiviiva.
Monistojen suunnistuvuus
Olkoon M yhtenäinen topologinen n-monisto. On useita mahdollista määritellä, mitä tarkoittaa, että M on suunnistuva. Osa määritelmistä edellyttää, että M:llä on muitakin struktuureja, esimerkiksi, että sen on oltava differentioituva. Joissakin määritelmissä n=0 on käsiteltävä erikoistapauksena. Määritelmät on kuitenkin muotoiltu keskenään yhtäpitäviksi siinä mielessä, että jos useampi kuin yksi niistä on sovellettavissa avaruuteen M, on M suunnistuva yhden määritelmän mukaan, jos ja vain jos se on suunnistuva muidenkin määritelmien mukaan.
Differentioituvien monistojen orientoituvuus
Intuitiivisimmat määritelmät edellyttävät, että moniston M on oltava differentioituva. Tämä merkitsee, että transitiofunktiot M:n atlaksessa ovat C1-funktioita. Sellaisilla funktiolla on Jacobin determinantti. Jos Jakobin determinantti on positiivinen, transitiofunktiota sanotaan suunnistuksen säilyttäväksi. Suunnistuva atlas monistossa M on sellainen atlas eli joukko jatkuvia injektiivisiä kuvauksia M:n eri alueilta :een, jossa kaikki transitiofunktiot ovat suunnistuksen säilyttäviä. Monisto M on suunnistuva, jos sillä on suunnistuva atlas. Kun n > 0, niin M:n suunnistus on maksimaalinen suunnistuva atlas. Kun n=0, on M:n suunnistus funktio M → {±1}.
Vaihtoehtoisesti suunnistukset voidaan määritellä differentioituvalle monistolle tilavuusmuotojen avulla. Tilavuusmuoto on :n leikkaus , joka ei missään saa arvoa nolla, M:n kotangenttikimpun yläpuolinen ulkoinen potenssi. Esimerkiksi :lla on standardi tilavuusmuoto, jonka antaa . Kun monistossa M on annettu tilavuus, kaikkien sellaisten kuvausten joukko, joilla standardi tilavuus palautuu ω:n positiiviseen monikertaan, on orientoitu atlas. Näin ollen tilavuusmuoto on olemassa, jos ja vain jos monisto on suunnistuva.
Tilavuusmuodot ja tangenttivektorit voidaan yhdistää niin, että saadaan vielä yksi vaihtoehtoinen luonnehdinta suunnistuvuudelle. Jos A on pisteeseen p liittyvien moniston tangenttivektorien kanta, kantaa sanotaan oikeakätiseksi, jos . Transitiofunktio on suunnistuksen säilyttävä, jos ja vain jos oikeakätiset kannat kuvautuvat oikeakätisille kannoille. Kuten edellä, tästä seuraa, että M on suunnistuva. Kääntäen jos M on suunnistava paikalliset tilavuusmuodot voidaan yhdistää koko M:n käsittäväksi tilavuusmuodoksi, jolloin suunnistuvuus on välttämätön ehto sille, että tämä globaalilla tilavuusmuodolla ei ole nollakohtaa.
Monistojen homologia ja suunnistuvuus yleisessä tapauksessa
Kaikki edellä esitetyt differentioituvan moniston suunnistuvuuden määritelmät perustuvat keskeisesti suunnistuksen säilyttävän transitiofunktion käsitteeseen. Tämä herättää kysymyksen siitä, mikä tarkkaan ottaen säilyy näissä transitiofunktiossa. Ei voida sanoa, että niissä säilyy moniston suunnistuvuus, sillä moniston suunnistus on atlas, eikä ole mielekästä sanoa, että transitiofunktiossa säilyy tai ei säily sellainen atlas, jonka jäsen se itse on.
Kysymys voidaan ratkaista määrittelemällä lokaalit suunnistukset. Yksiulotteisella monistolla paikallinen suunnistus pisteen p: ympärillä vastaa sen valitsemista, kumpi puoli pisteen kahtia jakamasta monistosta katsotaan "oikeaksi" ja kumpi "vasemmaksi" puoleksi. Kaksiulotteisella monistolla tämä vastaa sen valitsemista, kumpi kiertosuunta pisteen ympäri katsotaan "myötäpäiväiseksi" ja kumpi "vastapäiväiseksi". Molemmille tilanteille on yhteistä se, että ne voidaan kuvata pisteen p ympäristön, mutta ei itse pisteen p avulla. Yleisessä tapauksessa olkoon M topologinen n-monisto. Lokaali suunnistus monistossa M pisteen p ympärillä merkitsee ryhmän
jonkin virittäjän valintaa.