Renkaan R alkiota a kutsutaan vasemmanpuoleiseksi nollanjakajaksi, jos R:ssä on nollasta poikkeava x siten, että ax = 0. Vastaavasti renkaan alkiota a kutsutaan oikeaksi nollan jakajaksi, jos R :ssä on nollasta poikkeava y, jolla ya = 0 .
Nollanjakaja on alkio, joka on vasen tai oikea nollan jakaja. Kaksipuolinen nollanjakaja on alkio, joka on sekä vasen että oikea nollan jakaja (nollasta poikkeava x, jolla ax = 0 voi olla eri kuin nollasta poikkeava y, jolla ya = 0).
Jos rengas on kommutoiva, niin vasemmat ja oikeat nollanjakaja ovat samat.
Kommutatiivinen rengas R on kokonaisalue, jos 0 on sen ainoa nollanjakaja mutta .
Esimerkkejä
Renkaassa , jakojäännösluokka on nollajakaja, koska . Kokonaislukujen renkaan ainoa nollanjakaja on . Nollasta poikkeavan renkaan nilpotentti elementti on aina kaksipuolinen nollanjakaja. Renkaan idempotentti alkio on aina kaksipuolinen nollanjakaja, koska . n × n-neliömatriisien rengas jonkin kunnan yli omaa nollasta poikkeavia nollanjakajia, jos n ≥ 2. Esimerkkejä nollan jakajista 2×2-matriiseilla (millä tahansa nollasta poikkeavalla renkaalla) näytetään tässä:
Yksipuolinen nollajakaja
Käsitellään rengasta (muodollisista) matriiseista missä ja . Tällöin ja . Jos , niin on vasen nollanjakaja jos ja vain jos on parillinen, koska , ja se on oikea nollanjakaja jos ja vain jos is parillinen (vastaavista syistä). Jos tai on , se on kaksipuolinen nollanjakaja.
Ominaisuuksia
Tarkastellaan n × n matriisia jonkin kunnan yli. Tällöin vasemmat ja oikeat nollanjakajat ovat samat ja ne ovat sama joukko kuin singulaarimatriisit. n × n-matriisien renkaassa kokonaisideaalialueen yli nollanjakajat täsmälleen ne matriisit, joiden determinantti nolla. Vasen tai oikea nollan jakaja ei voi koskaan olla yksikköä, koska jos a on käännettävä ja ax = 0 jollekin nollasta poikkeavalle x lle, niin , mikä on ristiriita. Jos a ei ole vasen nollanjakaja, niin ax = ay tarkoittaa, että x = y. Jos b ei ole oikea nollanjakaja, niin xb = yb tarkoittaa, että x = y.
Modulin nollanjakaja Olkoon R kommutatiivinen rengas, olkoon M R-moduuli ja a R:n alkio. Sanotaan, että a on M -säännöllinen, jos "kertominen a:lla" eli on injektiivinen, muutoin sanotaan, että a on M:n nollajakaja.
Tämän sivun alussa annettu määritelmä on tuon määritelmän rajoittuma tapaukseen M=R.
Aiheesta muualla Zero divisor, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 Weisstein, Eric W. Zero Divisor. MathWorld. Luokka:Nolla Luokka:Rengasteoria Luokka:Abstrakti algebra