Varianssi on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan hajonnan mitta. Varianssi kuvaa sitä, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot keskimäärin vaihtelevat odotusarvosta tai populaation keskiarvosta. Varianssissa yksittäisen mittauksen poikkeamat keskiarvosta tai odotusarvosta korotetaan toiseen potenssiin (neliöön). Varianssi saadaan ottamalla keskiarvo näistä neliöön korotetuista eroista. Kun arvot keskittyvät odotusarvon ympärille tiiviisti, on varianssin arvo pieni, ja kun arvot ovat hajallaan odotusarvon ympärillä, on sen arvo suuri. Reaaliarvoisen satunnaismuuttujan varianssi on sen toinen keskusmomentti. Varianssin yksikkö on satunnaismuuttujan yksikkö korotettuna toiseen potenssiin. Varianssin neliöjuurta sanotaan keskihajonnaksi, jonka yksikkö on sama kuin satunnaismuuttujalla.
Määritelmä ja merkinnät Matemaattisesti varianssi määritellään reaaliarvoisen satunnaismuuttujan odotusarvon avulla
missä on satunnaismuuttujan odotusarvo. Varianssin arvo on ääretön, ellei odotusarvo ole äärellisenä olemassa. Varianssi voidaan merkitä myös
Varianssin avulla voidaan esittää myös keskihajonta eli standardipoikkeama
Diskreetti satunnaismuuttuja Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan
missä on jakauman pistetodennäköisyysfunktio.
Jatkuva satunnaismuuttuja Jatkuvan satunnaismuuttujaparin varianssi on taas
missä on jakauman tiheysfunktio.
Ominaisuuksia Rinnakkaiskaavan johtaminen Varianssin lauseketta voidaan kehittää edelleen käyttämällä hyväksi odotusarvon ominaisuuksia:
Ensimmäistä muotoa kutsutaan toiseksi keskusmomentiksi ja viimeisessä muodossa käytetään toista ja ensimmäistä origomomenttia.
Varianssin laskemiseksi on käytössä myös tekijämomentin sisältävä muoto:
Ominaisuuksia Varianssin arvo on aina epänegatiivinen. Kun varianssi on nolla, ei arvoissa esiinny vaihtelua ja satunnaismuuttuja antaa vain samoja arvoja. Siten
Varianssi on kovarianssi kahden identtisen satunnaismuuttujan välillä (kovarianssi)
Päättelysääntöjä summista Jokaisen satunnaismuuttujan arvoon lisätty vakio ei vaikuta varianssin arvoon eli
mutta arvojen kertominen vakiolla kasvattavat tai vähentävät varianssia
Kahden satunnaismuuttujan lineaarikombinaatiossa varianssiin vaikuttaa myös satunnaismuuttujien kovarianssi
mikä merkitään yleisemmässä tapauksessa
Nämä arvot voidaan käsitellä hallitummin kovarianssimatriisissa. Tämä ominaisuus vaikuttaa myös satunnaismuuttujien summan varianssiin
Kovarianssia ei tarvitse huomioida, mikäli satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia jolloin
Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia. Korreloimattomilla satunnaismuuttujilla välimerkki ei vaikuta varianssin arvoon
Päättelysääntöjä tuloista Kahden satunnaismuuttujan tulon varianssi voidaan määrittää odotusarvon ominaisuuksien avulla
Populaatio- ja otosvarianssi Varianssi lasketaan äärelliselle populaatiolle seuraavasti
missä on populaation keskiarvo. Tätä kutsutaan toisinaan otosvarianssiksi, mutta termin käyttö on vaihtelevaa. Kun on otos laajemmasta populaatiosta, on varianssin tarkentuva mutta harhainen estimaatti. Harhaton estimaatti on
jota yleensä kutsutaan otosvarianssiksi. Suurten otosten tapauksessa ei ole käytännössä merkitystä kumpaa estimaattoria käytetään. Molempien keskihajonta saadaan ottamalla varianssista neliöjuuri.
Lähteet
Luokka:Todennäköisyyslaskenta Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit