Esitys ryhmäteoriassa tarkoittaa tapaa kuvata ryhmä sen virittäjien ja sääntöjen avulla. Esityksen avulla ryhmä voidaan määrittää symbolisesti ilman viittausta sen konkreettisiin alkioihin.

Kansantajuinen selitys

Eräs yksinkertainen ryhmä on niin kutsuttu kellotauluryhmä, jossa on kaksitoista alkiota, luvut yhdestä kahteentoista. Yhteenlasku toimii muuten tavallisesti, mutta jos lukujen summa ylittää kaksitoista, niin aloitetaan laskenta alusta. Tällöin esimerkiksi XI+III=II. (Jos kello on aluksi yksitoista, niin kolmen tunnin päästä se on kaksi.) Merkitsemme kellotauluryhmän alkioita roomalaisin numeroin, jotta ne eivät sekoittuisi kertoimina käytettäviin tavallisiin numeroihin.

Kun kellotauluryhmälle muodostetaan esitys, niin aluksi on valittava virittäjät. Tässä tapauksessa yksi virittäjä riittää, koska esimerkiksi valitsemalla virittäjäksi luku I, saadaan kaikki muut luvut summaamalla ykkösiä (I+I=II, I+I+I=III, jne.).

Jotta ryhmä ei sisältäisi kaikkia kokonaislukuja, niin tarvitaan sääntö rajoittamaan niiden määrää. Säännöksi voidaan valita vaikkapa XII+I=I, joka voidaan ilmaista pelkästään virittäjäalkiota käyttäen muodossa 13·I=I. Siispä kellotauluryhmän eräs esitys on .

Määritelmä Ryhmä voidaan määritellä esityksen avulla, kun sille annetaan virittäjäjoukko ja sääntöjoukko, jotka ilmaisevat sen alkioiden väliset riippuvuudet.

Virittäjäjoukko Olkoon ryhmä ja sen alkioiden joukko. Tällöin virittäjäjoukon virittämä aliryhmä on

ja sen alkioita kutsutaan virittäjiksi. Jos on äärellinen, sanotaan, että ryhmä on äärellisesti viritetty.

Sääntöjoukko Joukon alkioista voidaan muodostaa sanoja . Jos sanalle on voimassa (ryhmän neutraalialkio), kutsutaan sitä säännöksi. Ryhmässä on aina voimassa perussäännöt ja , mutta lisäsääntöjä voidaan antaa rajoittamaan rakennetta.

Esitys muodossa <V | R> Jos on virittäjäjoukon vapaa ryhmä ja on sääntöjoukko, jonka normaali sulkeuma on

niin ryhmän esitys määritellään tekijäryhmänä

ja se kirjoitetaan muodossa

Esimerkkejä Vapaa ryhmä Ryhmä, jossa on voimassa vain perussäännöt ja , on vapaa ryhmä. Kahden virittäjän vapaa ryhmä on .

Vaihdannainen ryhmä Jos vapaan ryhmän lisäsääntöihin otetaan mukaan vaihdannaisuus , saadaan tason hilapisteitä vastaava ryhmä

Ympyrän perusryhmä Ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa, ja se voidaan esittää muodossa

missä virittäjä vastaa silmukkaa, joka kiertää ympyrän kerran myötäpäivään.

Lähteet

Viitteet

Luokka:Ryhmäteoria