Trigonometriset funktiot ovat matematiikassa kulman funktioita, jotka ovat tärkeitä, kun tutkitaan kolmioita tai mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Trigonometriset funktiot määritellään yleisesti kulman sisältävän suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan yhtäpitävästi määritellä yksikköympyrään piirrettyjen janojen pituuksina. Modernimmat määritelmät esittävät ne sarjoina tai tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, jolloin ne voidaan laajentaa käsittämään sekä positiiviset että negatiiviset luvut ja jopa kompleksiluvut. Kaikki nämä lähestymistavat esitellään edempänä.

Nykyään on käytössä kuusi trigonometrista perusfunktiota, jotka on taulukoitu alempana keskinäisine yhteyksineen. Näitä yhteyksiä pidetään usein varsinkin neljän viimeisen funktion määritelmänä, mutta ne voidaan määritellä yhtä hyvin myös geometrisesti tai muilla tavoilla ja johtaa sitten funktioiden väliset yhteydet.

Funktio Lyhenne Yhteydet Sini sin Kosini cos Tangentti tan Kotangentti cot Sekantti sec Kosekantti csc(tai cosec) </td>

Ennen oli käytössä myös muutama nykyään vähän käytetty funktio, joiden arvoja myös taulukoitiin, kuten: versaalisini: ekssekantti:

Myös sekantti ja kosekantti ovat harvoin käytettyjä, sillä niiden sijasta käytetään yleensä sinin ja kosinin käänteisarvoja.

Trigonometristen funktioiden tiettyjen rajoittumien käänteisfunktioita ovat arkusfunktiot.

Määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla

Määritelläksemme trigonometriset funktiot kulmalle α, aloitamme mielivaltaisesta suorakulmaisesta kolmiosta, jonka terävistä kulmista toiselle käytetään merkintää α (0 < α < 180°). Suoran kulman vastainen sivu on hypotenuusa, mitä merkitsemme myös h:lla. Vastainen kateetti on tarkastelemamme kulman vastainen sivu eli a. Viereinen kateetti on suoran kulman ja tarkastelemamme kulman välinen sivu eli b.

Oletamme kaikkien kolmioiden olevan euklidisella tasolla, jolloin kolmion sisäkulmien summa on 180°. Tällöin suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat molemmat välillä 0° < θ < 90°, missä θ on kulma. Määrittelemmekin nyt tässä trigonometriset funktiot vain näille kulmille, laajempia määritelmiä esittelemme tuonnempana.

Kulman sini on vastaisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. On huomattava, että tämä suhde riippuu vain kulmasta α, sillä kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on kulma α, ovat yhdenmuotoisia. Kulman kosini on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman tangentti on vastaisen ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Määritelmistä saamme seuraavat kaavat:

Jäljellä oleville kolmelle funktiolle on helpointa antaa määritelmät äsken laatimiemme määritelmien avulla. Kulman kosekantti on kulman sinin käänteisluku eli hypotenuusan ja vastaisen kateetin pituuksien suhde. Kulman sekantti on kulman kosinin käänteisluku eli hypotenuusan ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Kulman kotangentti on kulman tangentin käänteisluku eli viereisen ja vastaisen sivun pituuksien suhde. Saamme kaavat:

Kun kulma on hyvin lähellä nollaa tai suoraa kulmaa, kolmio on muodoltaan hyvin kapea. Tällöin siinä toinen kateetti on hyvin lyhyt ja toinen melkein hypotenuusan pituinen. Tällä perusteella laajennamme antamaamme trigonometristen funktioiden määritelmiä rajatapauksina myös 0 ja 90 asteen kulmille seuraavasti:

Nollan asteen kulmalle ei voida määritellä kotangenttia eikä sekanttia eikä liioin 90 asteen kulmalle tangenttia eikä kosekanttia. Kulman lähestyessä näitä arvoja näiden funktioiden arvot kasvavat rajattomasti, minkä vuoksi funktioilla sanotaan näissä kohdissa olevan raja-arvo ääretön.

Määritelmät yksikköympyrän avulla

Trigonometriset funktiot voidaan myös määritellä yksikköympyrän eli origossa sijaitsevan ympyrän, jonka säde on 1, avulla. Tämä määritelmä ei juuri eroa aiemmasta suorakulmaisten kolmioiden avulla tehdystä, sillä se tukeutuu vahvasti suorakulmaisiin kolmioihin. Yksikköympyrän etu on kuitenkin se, että se sallii trigonometristen funktioiden määrittelyjoukon luontevan laajentamisen kaikille positiivisille ja negatiivisille kulmille sen sijaan, että hyväksyttäisiin kulman arvot ainoastaan välillä 0° < θ < 90°.

Piirretään origon kautta kulkeva suora, joka muodostaa positiivisen x-akselin kanssa kulman θ. Suora leikkaa yksikköympyrän kahdessa pisteessä, joista toinen on x-akselin ylä- ja toinen alapuolella (tai erikoistapauksessa, kun θ=0, pisteissä (-1,0) ja (1,0)). Olkoon toinen näistä leikkauspisteistä (x,y). Tällöin määritellään, että tämän pisteen x-koordinaatti on kulman θ kosini ja y-koordinaatti sen sini, eli

. Jos kulma on muodostettu kiertämällä leikkauspisteestä (1,0) lähdettäessä vastapäivään, kulma θ katsotaan positiiviseksi, myötäpäivään kierrettäessä negatiiviseksi. Koska yksikköympyrän yhtälö on: , seuraa tästä, että kaikilla θ:n arvoilla pätee . Tämä yhtälö on itse asiassa sama kuin Pythagoraan lause trigonometristen funktioiden avulla ilmaistuna.

Kuvassa on annettu joitain tavallisia kulmien arvoja radiaaneissa. Vastapäivään tehdyt mittaukset ovat positiivisia ja myötäpäivään tehdyt negatiivisia kulmia.

Yksikköympyrän sisälle piirretty kolmio vahvistaa, että jos kulma θ on terävä, tämä määritelmä on yhtäpitävä aikaisemman, suorakulmaiseen kolmioon perustuvan määritelmän kanssa: kolmion hypotenuusa on ympyrän säde, jonka pituus on 1, joten sin θ = y/1 ja cos θ = x/1. Yksikköympyrää voi ajatella tapana tarkastella ääretöntä määrää suorakulmaisia kolmioita vaihtelemalla sivujen pituuksia mutta pitämällä hypotenuusa yhtäsuurena.

Yksikköympyrään perustuva määritelmä ei kuitenkaan edellytä, että kulman on oltava terävä. Kuviosta voidaan todeta, että jos pisteestä (1,0) lähdetään ympyrän kehää pitkin vastapäivään kulman θ tai edelleen kulman 180°-θ verran, pisteet, joihin päädytään, ovat toistensa peilikuvia y-akselin eli suoran x=0 suhteen. Koska näiden pisteiden koordinaatit ovat (cos θ, sin θ) ja (cos (180°-θ), sin (180°-θ), seuraa tästä, että

ja ,

tai jos kulmayksikkönä käytetään radiaania, ja

Jos taas kulma θ korvataan kulmalla -θ, päädytään pisteeseen, joka on alkuperäisen pisteen peilikuva x-akselin suhteen. Siitä seuraa, että ja .

Tämä merkitsee, että kosini on parillinen, sini sen sijaan pariton funktio.

Muut trigonometriset funktiot määritellään sinin ja kosinin suhteina tai käänteisarvoina samoin kuin suorakulmaista kolmiota lähtökohtana käytettäessäkin voitaisiin tehdä: , , , ,

Kulmilla, jotka ovat suurempia kuin täysikulma tai pienempiä kuin , trigonometriset funktiot määritellään antamalla kulman kiertyä ympäri. Toisin sanoen, jos ympyrän kehää pitkin kuljetaan kulman verran, ajatellaan, että on tehty ensin täysi kierros ja sen jälkeen jatkettu vielä kulman verran, jolloin päädytään samaan pisteeseen kuin jos olisikin kierretty vain kulman verran. Tällä tavalla laajennetut sini ja kosini ovat siis jaksollisia funktioita, joiden jakso on .

kaikille kulman arvoille θ ja kokonaisluvuille n.

Sinillä, kosinilla ja tangentilla on kaikilla äärettömästi nollakohtia seuraavasti, kun kulma on θ ja n on kokonaisluku:

Jaksollisen funktion pienintä positiivista jaksoa sanotaan funktion perusjaksoksi. Sinin, kosinin, sekantin ja kosekantin kokonainen ympyrä eli radiaania tai 360 astetta; tangentin perusjakso on puoliympyrä eli radiaania tai 180 astetta. Yllä määriteltiin vain sini ja kosini suoraan yksikköympyrän avulla, sillä neljä muuta trigonometrista funktiota voidaan määritellä niiden avulla:

Oikealla olevassa kuvassa on sinin ja kosinin kuvaajista huomattavasti poikkeava tangenttifunktion kuvaaja piirrettynä koordinaatistoon. Huomaa, että sen x-akselin leikkauspisteet vastaavat sinifunktion vastaavia, kun taas ne arvot joilla se ei ole määritelty vastaavat kosinifunktion nollakohtia. Funktion arvot muuttuvat hitaasti lähellä kulman arvoja ja nopeasti kulmilla jotka ovat lähellä arvoja . Tangentilla on pystysuora asymptootti :n arvoilla . Tämä johtuu siitä, että kulman arvon lähestyessä arvoa vasemmalta lähestyy funktion arvo ääretöntä, kun taas oikealta lähestyttäessä sen arvo lähestyy miinus ääretöntä.

Kaikki trigonometriset funktiot voidaan vaihtoehtoisesti määritellä O-keskisen yksikköympyrän (kuvattu oikealla) avulla, ja vastaavanlaisia geometrisia määritelmiä käytettiinkin ennen paljon. Ympyrän jänteelle AB, jossa θ on puolet kolmion OAB janan AB vastaisesta kulmasta, sin(θ) on AC (puolet jänteestä); määritelmä, jonka esitti intialainen matemaatikko Aryabhata 400-luvun lopulla. cos(θ) on vaakasuora jana OC, ja versin(θ) = 1 − cos(θ) on jana CD. tan(θ) on ympyrän pisteeseen A piirretylle tangentille piirretyn janan AE pituus, minkä takia funktio onkin nimetty tangentiksi. cot(θ) on jana AF, joka on myös pisteen A kautta kulkevalla tangentilla. sec(θ) ja csc(θ) ovat sekanttien osia, ja niitä voidaan myös pitää janan OA projektioina x- ja y-akseleille pisteeseen A piirrettyä tangenttia pitkin. DE on exsec(θ) = sec(θ) − 1 (sekantin ympyrän ulkopuolinen osa). Näissä konstruktioista on helppoa nähdä, että tangentti- ja sekanttifunktiot hajaantuvat, kun θ lähestyy suoraa kulmaa, ja että kosekantti ja kotangentti hajaantuvat θ:n lähestyessä nollaa. (Moni muu vastaava rakennelma on mahdollinen, ja yksinkertaiset trigonometriset identiteetit voidaan todistaa graafisesti.)

Jos kulma θ on hyvin pieni, on sitä vastaava kaari (arc oheisessa kuviossa) vain hieman pidempi kuin tämän kulman vastainen kateetti, jonka pituus on sin θ. Mitä pienempi kulma θ on, sitä tarkemmin nämä ovat yhtä pitkiä, eli niiden suhde on sitä lähempänä arvoa 1. Tähän liittyen voidaankin osoittaa, että kun kulmayksikkönä käytetään radiaania, on .

Todistus

Todistetaan tapaus , tapaus todistetaan vastaavalla tavalla.

Koska ympyrän jänne on lyhyempi kuin sen määrittämä kaari, niin sinifunktion määritelmän ja tasakylkisen kolmion huippukulman puolittajan ominaisuuksien nojalla pätee . Kun ja , niin .

Yksikköympyrän sektori, jonka määrittää kulma on puolestaan pienempi kuin suorakulmainen kolmio, jonka kateetin pituus on ja viereinen kulma . Siis tangenttifunktion määritelmän nojalla saadaan , joka on yhtäpitävä epäyhtälön kanssa. Koska , kun , niin .

Yhdistettynä edellinen jänteen ja kaaren pituuksista johdetun epäyhtälön kanssa saadaan . Koska , niin kuristuslauseen nojalla .

Seuraus

, sillä , kun on :n lähellä, joten .

Tätä ja edellistä raja-arvoa sekä trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavoja käytetään johdettaessa - ja muiden trigonometristen funktioiden derivaattoja.

Määritelmät sarjakehitelmien avulla 300px|thumb|right|Seitsemännen asteen Taylorin polynomilla (vaaleanpunainen) päästään sinifunktion (sininen) tarkkaan approksimaatioon keskellä kuvaajaa olevan kokonaisen :n pituisen jakson alueella.

Huomautus: Kuten differentiaalilaskennassa yleensäkin, kaikkien kulmien arvot ilmoitetaan tässä radiaaneina. (Katso otsikko radiaanien merkitys)

Pelkällä geometrialla ja raja-arvoilla voidaan osoittaa, että sinin derivaatta on kosini, ja että kosinin derivaatta on sinin vastaluku. Taylorin polynomien avulla voidaan näyttää että seuraavat identiteetit pätevät kaikille reaaliluvuille x:

Näitä identiteettejä käytetään usein sinin ja kosinin määritelminä ja lähtöpisteenä trigonometristen funktioiden ja niiden sovellusten (esim. Fourier-sarjoissa) täsmälliselle käsittelylle, sillä sarjojen teoria voidaan rakentaa reaalilukujen pohjalta, ilman minkäänlaisia geometrisia tulkintoja. Näiden funktioiden derivoituvuus ja jatkuvuus todentuu näin sarjojen määritelmien pohjalta.

Muillekin funktioille on olemassa sarjakehitelmiä (Abramowitz ja Stegun 1964, Weisstein 2006):

Kun tämä sarja esitetään muodossa, jossa nimittäjät ovat vastaavia kertomia, saavat osoittajat, joita kutsutaan "tangenttiluvuiksi", kombinatoriaalisen tulkinnan: ne ovat äärellisten parittomasti mahtavien joukkojen vuorottelevien permutaatioiden lukumäärä.