Neliöluku on positiivinen kokonaisluku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio.
600px
Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella , jossa n on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska Kaksikymmentä ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ja 400.
Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa pariton luku
Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.
Määritelmä Neliöluvut saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan peräkkäistä paritonta lukua yhteen:
Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliöluku ja sitten siihen lisätään gnomoneita
Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.
Yhteyksiä matematiikkaan Neliölukujen ominaisuuksia Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti. Tiedosto:Square_number_1_with_gnomon.svg Tiedosto:Square_number_4_with_gnomon.svg Tiedosto:Square_number_9_with_gnomon.svg Tiedosto:Square_number_16_with_gnomon.svg Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on
Kytkentä muihin kuviolukuihin Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla
Yhteyksiä muuhun matematiikkaan Jos luku parillinen luku, niin luvut ja ovat peräkkäiset parittomat luvut. Vastaavasti, jos on pariton luku, niin luvut ovat peräkkäiset parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli
Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi ja Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi ja
Neljän parittoman luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän parillisen luvun neliöitten summana.
Alkuluku , joka voidaan lausua muodossa , voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska
Historiaa Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa. Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan katsoa syntyneen tästä harrastuksesta.
Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy.
Katso myös OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Solmu-lehti: Tehtäviä kolmio ja neliöluvuista Pythagoraan kolmikko
Lähteet ja
Viitteet
Luokka:Kuvioluvut