thumb|Normaalijakauma on tilastotieteessa usein käytetty työkalu. Tilastotiede on todennäköisyyslaskentaan perustuva tieteenala, joka tutkii tilastollisten aineistojen keräämistä, käsittelyä ja tältä pohjalta tehtävää päättelyä. Tilastotieteen avulla voidaan mitata havaintoja ja käsitellä mittausten muodostamia aineistoja, ja tilastotiede tuo siten empiriaa erilaisiin tutkimuksiin. Tilastotieteen tulosten pohjalta tehtävä päättely on induktiivista päättelyä eli aineiston pohjalta pyritään yleistämään asioita yksittäisestä yleiseen. Havaintoaineistoja voidaan myös hankkia tietyllä aikavälillä eli tuottaa aikasarja. Tilastotiede voidaan jakaa teoreettiseen ja soveltavaan tilastotieteeseen. Tilastotiedettä käytetään tilastollisten tutkimusten tekemiseen ja nämä jaetaan määrällisiin (kvantitatiivisiin) ja laadullisiin (kvalitatiivisiin) tutkimuksiin. Tilastotieteen harjoittajaa kutsutaan tilastotieteilijäksi.

Tilastotiedettä sovelletaan monilla tutkimusaloilla, joihin kuuluvat esimerkiksi luonnon-, yhteiskunta- ja humanistiset tieteet. Tilastollisella päättelyllä on tärkeä osuus tieteellisessä hypoteesin testauksessa. Tilastotiedettä käytetään myös teollisuudessa. Tilastotiedettä hyödynnetään myös valtion ja kuntien virallisissa tilastoissa sekä kansantalouden tilan selvittämisessä, ja historiallisesti julkinen valta oli ensimmäinen tilastojen hyödyntäjä. Vuonna 1749 laadittiin Suomen ensimmäinen väestötilasto.http://www.stat.fi/org/tilastokeskus/historia.html Suomessa Tilastokeskus tuottaa valtaosan Suomen virallisista tilastoista.http://www.stat.fi/org/index.html Muita tilastoviranomaisia Suomessa ovat Terveyden ja hyvinvoinnin laitos, Luonnonvarakeskus sekä Tulli. Myös Suomen Pankki tuottaa merkittävän määrän virallisia tilastoja.http://www.suomenpankki.fi/fi/tilastot/Pages/default.aspx

Kun tilastotieteen menetelmiä käytetään havaitun aineiston esittämiseen, on kyse kuvailevasta tilastotieteestä. Kun kuvailusta siirrytään aineiston tarkasteluun tai mallinnukseen siten, että aineiston epävarmuus ja havaintojen satunnaisuus otetaan huomioon, puhutaan tilastollisesta päättelystä. Näissä molemmissa tapauksissa on kyse soveltavasta tilastotieteestä. Matemaattinen tilastotiede keskittyy puolestaan tarkastelemaan tilastotieteen teoreettista perustaa. Tilastotieteessä keskeisiä asioita ovat otantamenetelmät, mitta-asteikot, keskiluvut sekä vaihtelun ja riippuvuuden tunnusluvut. Tilastollisten tutkimusten tekeminen edellyttää suunnitelmallisuutta tutkimussuunnitelman muodossa, koska se luo pohjan sille, mitä kerätystä aineistoista voidaan lopulta saada irti.

Lähestymistapa

Tilastotieteen soveltaminen tarkasteltavaan tieteelliseen, teolliseen tai yhteiskunnalliseen ongelmaan alkaa populaation määrittelyllä. Kyseessä voi olla jonkin maan väestö tai tehtaan valmistamat tuotteet. Toisaalta voidaan havainnoida aineistoa tuottava prosessi eri ajankohtina, jolloin kyseessä on aikasarja.

Aineistoa on tavallisesti mahdollista kerätä vain populaation osajoukosta, jolloin tutkimuksen kohteena on otos. Otoksesta voidaan kerätä aineistoa joko havainnoiden tai kokeellisessa asetelmassa. Kun aineisto on kerätty, siitä tehtävä analyysi voidaan jakaa kuvailuun ja päättelyyn, jotka tosin liittyvät usein toisiinsa läheisesti.

Otanta

Otannalla tarkoitetaan tutkimukseen mukaan tulevien tutkimusyksiköiden valitsemista perusjoukosta. Otannan tavoitteena on saada mahdollisimman edustava otos koko perusjoukosta, jotta päättely voitaisiin yleistää koskemaan myös perusjoukkoa. Otantamenetelmän valinnalla voi olla suuri vaikutus tutkimuksen onnistumiseen.

pienois|Esimerkki yksinkertaisesta satunnaisotannasta.

Yksinkertainen ja hyvin yleisesti käytetty otantamenetelmä on yksinkertainen satunnaisotanta. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa jokaisella perusjoukon yksiköllä on yhtä suuri todennäköisyys tulla valituksi otokseen. Toinen yksinkertainen otantamenetelmä on systemaattinen otanta, jossa listatusta aineistosta valitaan tietyin välein yksikkö mukaan tutkimukseen.

Monesti yksinkertaisimmat menetelmät eivät kuitenkaan tuota parasta mahdollista lopputulosta. Mikäli esimerkiksi tavoitteena on selvittää haastattelututkimuksella kaikkien Suomen kolmasluokkalaisten oppilaiden äidinkielen osaamista, olisi tutkijoilla todella kova työ kiertää kaikki koulut, joista oppilaita valittiin mukaan tutkimukseen. Tällaisissa tapauksissa käytetään usein ryväsotantaa. Ryväsotannassa aineisto jaetaan ryhmiin ja varsinainen otanta tapahtuu näiden ryhmien välillä. Esimerkin tapauksessa voitaisiin jakaa perusjoukko ryhmiin koululuokan perusteella ja arpoa, mitkä luokat valitaan kokonaisuudessaan mukaan tutkimukseen.

Perusjoukko voidaan usein jakaa toisensa poissulkeviin osajoukkoihin. Esimerkiksi tehtäessä tutkimusta siitä, ovatko yliopisto-opiskelijat tyytyväisiä pääaineeseensa, voitaisiin ajatella, että tutkimukseen halutaan mukaan kaikkien alojen opiskelijoita. Yksinkertaista satunnaisotantaa käytettäessä aloilta, joilla on vähän opiskelijoita, ei välttämättä tulisi lainkaan opiskelijoita mukaan tutkimukseen. Tämän estämiseksi voitaisiin etukäteen päättää, kuinka monta opiskelijaa halutaan mukaan kultakin alalta ja suorittaa sitten yksinkertainen satunnaisotanta kunkin alan opiskelijoiden kesken. Tätä kutsutaan ositetuksi otannaksi. Ositetussa otannassa on oleellista huomioida, että havaitusta aineistosta lasketut tunnusluvut eivät välttämättä edusta koko perusjoukkoa. Tämä on usein korjattavissa painotuksella.

Otantaa voidaan tehdä myös siten, että kunkin yksikön todennäköisyys tulla valituksi riippuu jostain tämän yksikön ominaisuudesta, kuten koosta. Esimerkiksi tehtäessä tutkimusta koko Suomen työttömyydestä yksittäisten kuntien työttömyysprosenttien perusteella on hyvin oleellista, että isoimmat kunnat tulevat valituksi mukaan. Näin ollen voidaan ajatella, että isommilla kunnilla tulisi olla suurempi todennäköisyys tulla valituksi. Tätä kutsutaan otannaksi tilastoyksikön koon mukaan.

Aineiston kuvailu

Kuvaileva tilastollinen analyysi on havaitun aineiston esittämistä joko numeerisesti tai graafisesti. Havaitusta aineistosta voidaan laskea tunnuslukuja, jotka kuvaavat muuttujien ominaisuuksia, kuten sijaintia, hajontaa, vinoutta tai huipukkuutta.

Tyypillisiä sijaintia kuvaavia tunnuslukuja ovat moodi, minimi, maksimi, mediaani, kvantiilit, sekä erilaiset keskiarvot. Usein käytettyjä vaihtelua kuvaavia tunnuslukuja ovat keskihajonta, varianssi, kvartiiliväli ja vaihteluväli. Yleinen tapa esittää aineistoa tiivistetysti on esittää kustakin muuttujasta minimi, maksimi, ala- ja yläkvartiilit sekä mediaani. Näistä viidestä tunnusluvusta piirrettyä kuvaajaa kutsutaan viiksilaatikkokuvaajaksi. Yksittäisen muuttujan jakaumaa voidaan kuvailla graafisesti esimerkiksi histogrammilla. Histogrammin sijasta voidaan käyttää myös ydinestimaattoria, joka voidaan nähdä histogrammin yleistyksenä.

Usein ollaan kiinnostuneita myös kahden tai useamman muuttujien välisistä riippuvuussuhteista. Lineaarista riippuvuutta voidaan mitata esimerkiksi kovarianssilla tai korrelaatiolla. Muita riippuvuutta kuvaavia tunnuslukuja ovat muun muassa Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin ja Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin. Kahden muuttujan välistä riippuvuutta voidaan havainnollistaa graafisesti sirontakuviolla.

Tilastollinen päättely Tilastollisessa päättelyssä pyritään yleistämään aineiston perusteella saatuja tuloksia koko perusjoukkoon. Havaintoihin liittyy usein satunnaisuutta ja tilastollisen päättelyn tavoitteena onkin selvittää, että voiko aineistossa havaittu ilmiö selittyä pelkällä satunnaisvaihtelulla. Päättelyyn voi kuulua esimerkiksi mallin parametrien estimointi sekä tunnuslukujen laskeminen ja niiden tilastollisen merkitsevyyden testaus.

Uskottavuusfunktio

Hyvin suuri osa tilastollisen päättelyn teoriasta nojaa uskottavuuteen. Uskottavuudella tarkoitetaan sitä, kuinka todennäköistä on havaita havaitun kaltaisia arvoja asetetusta, kiinteästä mallista. Uskottavuutta mitataan uskottavuusfunktiolla

joka tulkitaan parametrin funktiona. Uskottavuuspäättelyn perusidea on se, että uskottavuusfunktion arvo on suuri niille parametrin arvoille, joista aineisto on todella peräisin. Usein oletetaan, että havainnot ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita. Tällöin havaintoihin perustuva uskottavuusfunktio voidaan kirjoittaa

jossa on kunkin satunnaismuuttujan uskottavuusfunktio, eli jatkuvilla muuttujilla tiheysfunktio ja diskreeteillä muuttujilla pistetodennäköisyysfunktio.

Uskottavuusfunktio on hyvin paljon käytetty työkalu sekä frekventistisessä että Bayesiläisessä tilastotieteessä.

Frekventistinen päättely Frekventistisessä tilastotieteessä ajatellaan, että tapahtuman todennäköisyys on tapahtuman suhteellinen osuus, kun toistojen määrä lähestyy ääretöntä. Näin ollen todennäköisyys on määritelty vain toistettavissa olevien tilanteiden mielessä. Esimerkiksi mallien parametrit ajatellaan kiinteiksi luvuiksi, joilla ei siis ole todennäköisyysjakaumaa. Sen sijaan frekventistisessä päättelyssä lasketaan usein, että kuinka todennäköistä on havaita havaitun kaltaisia tunnuslukujen arvoja jostain tietystä tilanteesta.

Suuri osa nykyään käytössä olevista tilastotieteen käsitteistä, kuten harha, tunnusluvun keskivirhe, p-arvo ja luottamusväli, on alun perin määritelty frekventistisessä tilastotieteessä.

Bayesiläinen päättely

Bayesiläinen tilastotiede perustuu Bayesin teoreemaan, joka määrittelee ehdollisen todennäköisyyden: . Bayesin teoreemassa yhdistetään aineistosta laskettava uskottavuus parametrien priorijakaumaan , jolloin saadaan parametreille posteriorijakauma . Haluttu tilastollinen päättely tehdään tämän posteriorijakauman perusteella. Bayesiläisessä tilastotieteessä siis ajatellaan, että tilastollisiin tunnuslukuihin ja malliparametreihin liittyy epävarmuutta, jota voidaan kuvata todennäköisyysjakaumien avulla.

Bayesiläiseen tilastotieteeseen liittyy oleellisesti priorijakauman määrittäminen, joka kuvastaa määrittäjän ennakkotietoa kiinnostuksen kohteena olevasta parametrista. Bayesiläistä tilastotiedettä onkin usein kritisoitu ennakkotiedon sisällyttämisestä priorijakaumaan, mutta määrittämällä priorijakauma sopivasti saadaan sen merkitys posteriorijakaumaan hyvin pieneksi tai jopa olemattomaksi. Monet Bayesiläistä tilastotiedettä harjoittavat eivät kuitenkaan pidä ennakkotiedon käyttöä priorijakauman valitsemisessa ongelmana, vaan pikemminkin työkaluna, jolla mallinnuksessa voidaan hyödyntää esimerkiksi edellisiä tutkimustuloksia samalta alalta.

Mallintaminen

Tilastollinen malli on todennäköisyysjakauma, jonka avulla pyritään tekemään päätelmiä käyttäen hyödyksi havaittua aineistoa. Mallintamisessa ollaan usein kiinnostuneita siitä, miten yhden tai useamman muuttujan arvot keskimäärin muuttuvat, kun muiden muuttujien arvo muuttuu. Tilastollista mallintamista voidaan esimerkiksi hyödyntää sen tutkimisessa, kasvavatko kuukausitulot keskimäärin, kun koulutuksen kesto pitenee. Tilastollista mallintamista voidaan tehdä sekä frekventistisestä että Bayesiläisestä näkökulmasta.

Usein käytettyjä mallinnusmenetelmiä ovat muun muassa Lineaarinen regressiomalli Yleistetty lineaarinen malli Aikasarjamallit

Testaaminen