En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle (aussi appelé cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, cercle de Terquem, cercle médian) est l'unique cercle passant par les neuf points remarquables suivants : Les trois milieux des trois côtés du triangle ; Le pied de chacune des trois hauteurs du triangle ; Le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle.
Découverte
Dans son mémoire E325 présenté en 1763, Euler a considéré séparément les deux cercles circonscrits aux triangles et sans noter leur coïncidence .
En 1821, les mathématiciens français Brianchon et Poncelet démontrent ensemble que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs du triangle sont cocycliques : ils mettent ainsi en évidence l'existence d'un cercle passant par ces six points remarquables. L'année suivante, le résultat fut redécouvert par le géomètre allemand Feuerbach. Le cercle d'Euler est aussi appelé cercle de Feuerbach. De plus, toujours en 1822, il démontra que le cercle des neuf points est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et tangent intérieurement au cercle inscrit du triangle. Ce résultat s'appelle le théorème de Feuerbach et ajoute quatre nouveaux points remarquables : les points de contact, appelés points de Feuerbach.
Par la suite, Terquem mit en évidence que trois autres points appartiennent à ce cercle : les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre. En 1842, Terquem apporta une deuxième preuve au théorème de Feuerbach. Une troisième preuve géométrique fut apportée en 1854.
Depuis, quelques dizaines d'autres points remarquables du triangle ont été ajoutés à la liste des points sur le cercle.
Démonstration géométrique Le quadrilatère est un trapèze car est parallèle à . Ce trapèze est isocèle car, d'après le théorème de Thalès dans le triangle , est la moitié de . Or il en est de même de , médiane du triangle rectangle Ce triangle rectangle est inscrit dans un cercle de centre et de rayon .. Or un trapèze isocèle est inscriptible dans un cercle. Il en résulte que les points , , et sont cocycliques. Il en est de même des autres points . L'angle est droit. Il en est de même de l'angle car est parallèle à , et, d'après le théorème de Thalès dans le triangle , est parallèle à , qui est perpendiculaire à . Il en résulte que les deux triangles et sont rectangles, donc inscrits dans le cercle de diamètre , et donc que les points , , et sont cocycliques. Les trois premiers étant éléments du cercle d'Euler, il en est de même de . Le même raisonnement s'applique aux autres points .
Démonstration par homothétie Le cercle des neuf points d'Euler est homothétique du cercle circonscrit au triangle dans deux homothéties :
l'homothétie de centre et de rapport : elle permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler.
l'homothétie de centre et de rapport : elle permet de trouver les neuf points du cercle d'Euler comme points correspondants du cercle circonscrit.
L'homothétie de centre G
On note I le milieu de [BC], I le milieu de [AC] et I le milieu de [AB]. L'homothétie de centre G et de rapport transforme le triangle en le triangle médian et le cercle circonscrit à en le cercle circonscrit à : ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler. vignette|300x300px|Le cercle d'Euler comme image du cercle circonscrit par l'homothétie de centre G et de rapport .
Soit le point aligné avec et , que l'homothétie de centre et de rapport transforme en : alors est l'orthocentre du triangle ABC. En effet, soit A le symétrique de A par rapport à et on considère le triangle AHA : en est le centre de gravité puisqu'au de la droite joignant le sommet au point , milieu du côté AA; AG en est une autre médiane; I est ainsi milieu de HA, les droites (OI) et (AH) sont donc parallèles, et . Puisque (OI) est orthogonale à (BC) par construction du cercle circonscrit au triangle ABC, la droite (AH) en est une hauteur de même que (BH) et (CH) par un raisonnement identique.
L'homothétie de centre H L'homothétie de centre et de rapport , transforme A en I, de même les points I et I sont les images de deux points du cercle circonscrit. Le cercle d'Euler circonscrit au triangle est l'image du cercle circonscrit à , dans l'homothétie de centre et de rapport .
On note K, le point d'intersection (autre que A) de la hauteur (AH) avec le cercle circonscrit. Le segment [AA] étant un diamètre, le triangle AKA, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. Les droites (BC) et (KA), perpendiculaires à la hauteur (AH), sont parallèles. La droite (IH) passe par le milieu I de [HA], c'est la droite des milieux de HAK, H est donc milieu de [HK]. La droite (HK) étant perpendiculaire à (BC), K est le symétrique de H par rapport à (BC).
Le point H est le milieu de [HK], c'est donc l'image de K par l'homothétie de centre H. Comme K est situé sur le cercle circonscrit, H est sur le cercle d'Euler.
L'homothétie de centre transforme les sommets du triangle en les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] qui sont les trois points d'Euler K, K, K situés sur le cercle.
C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle quelconque (ABC) le centre de gravité , le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont alignés. (Précisément, l'homothétie de centre et de rapport transforme en .)
Quelques propriétés On montre, en utilisant l'homothétie introduite au premier paragraphe, que :
Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit.
Son centre, soit , est sur la droite d'Euler, on a : et ce dont on déduit que dans un triangle, le centre du cercle d'Euler , est le milieu de [HO], segment joignant l'orthocentre au centre du cercle circonscrit .
On déduit de ces relations que les points sont en division harmonique :
le cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle médian (formé par les milieux des côtés) et au triangle orthique (formé par les pieds des hauteurs). toute hyperbole équilatère passant par les trois sommets a son centre sur le cercle d'Euler, en particulier l'hyperbole de Kiepert, de Jeřábek et de Feuerbach. C'est le théorème conique de Feuerbach. le cercle d'Euler est tangent intérieurement au cercle inscrit à ABC et tangent extérieurement à ses cercles exinscrits. C'est le théorème de Feuerbach. l'orthopôle de toute droite passant par le centre du cercle circonscrit est sur le cercle d'Euler.
Hexagramme de Pascal
Les côtés opposés de l'hexagone croisé , inscrit dans le cercle d'Euler, se coupent en .
Une propriété projective que n'avait pas vue Euler :
Généralisation
Le cercle d'Euler est un cas particulier de section conique, où l'on a considéré les trois sommets du triangle A, B et C et son orthocentre . Ces quatre points forment un quadrilatère complet mais surtout un système orthocentrique. Si on considère un quadrilatère complet qui ne soit pas orthocentrique, on retrouve une propriété similaire en montrant qu'il existe une courbe conique passant par les intersections des diagonales et les milieux des six côtés du quadrilatère.. La courbe est une ellipse si est intérieur à ABC, et une hyperbole sinon (elle est même équilatère si est sur le cercle circonscrit de ABC).
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Droite et cercle d'Euler dans le triangle Théorème de Feuerbach Théorème de Hamilton Liste des éléments remarquables d'un triangle Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle Cercle de Van Lamoen Cercle de Fuhrmann Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler
Bibliographie Michel Collet, Georges Griso, Le cercle d'Euler, Maths en plus, Vuibert, 1987 Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 François Netillard. « Cercle d’Euler et de Feuerbach », Mathématiques vivantes, n°72, p.9-59, 2022
Liens externes
(de) Stefan Götz, Franz Hofbauer: Ein einfacher Beweis für den Satz von Feuerbach mit koordinatenfreien Vektoren
Cercle d'Euler, Cercle d'Euler - le centre I, Cercle d'Euler - le centre II, Cercle d'Euler - le rayon, Ligne de Simson - Cercle d'Euler, Lignes de Simson - Cercle d'Euler sur Géométrie interactive
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