En mathématiques, une algèbre involutive simple sur un corps commutatif est une algèbre involutive qui n'admet pas d'idéaux stables par l'involution autres que {0} et elle-même.

Les algèbres involutives simples centrales (en un sens à préciser plus loin) sont aux algèbres involutives ce que les algèbres simples centrales sont aux autres algèbres. En fait, les algèbres involutives simples centrales englobent, en un sens les algèbres simples centrales car, à partir de toute algèbre simple centre, on peut construire canoniquement une algèbre involutive simple centrale.

À toute algèbre involutive simple centrale, on peut associer plusieurs groupes algébriques, plusieurs algèbres de Lie et une algèbre de Jordan. On peut ainsi construire de manière uniforme les groupes algébriques classiques, les groupes de Lie classiques (si K = R ou K = C) et les algèbres de Lie classiques, du moins si la caractéristique du corps de base est nulle. On peut aussi construire plusieurs de leurs espaces homogènes classiques (variétés de drapeaux, espaces symétriques).

Dans cet article, K désigne un corps commutatif, les algèbres sont supposées avoir K comme anneau de base (sauf mention contraire) et sont supposées être unitaires et associatives et de dimension finie, et les homomorphismes entre algèbres sont supposés être unitaires, c'est-à-dire envoyer 1 sur 1.

Définitions

Soit A une algèbre involutive. On dit que A est simple (en tant que K-algèbre involutive) s'il n'existe pas d'idéal bilatère I stable par l'involution de A autre que A et {0}, et si de plus A n'est pas réduit à 0.

L'ensemble des éléments x du centre du l'anneau A tels que x* = x est un sous-anneau de A. On l'appelle centre involutif de l'algèbre involutive A. À ne pas confondre avec le centre de l'anneau A.

Si A est simple, alors le centre involutif Z de A est un corps commutatif, qui contient le corps de base K de A. On dit que A est centrale (en tant que K-algèbre involutive) si le centre involutif de A est K.

Soient A un anneau simple et σ une involution d'anneau de A. Alors l'ensemble des éléments a du centre de A tels que σ(a) = a est un sous-anneau de A qui est un corps L. Si A est de dimension finie sur L, alors A est une L-algèbre involutive simple centrale pour σ.

Exemples Exemples abstraits Soit A une algèbre simple centrale sur K. Alors, pour toute involution de K-algèbre de A, A est une algèbre involutive simple sur K. Par exemple, K muni de l'identité est une algèbre involutive simple centrale. Soit A une algèbre simple centrale sur K. Alors l'application (x, y) → (y, x) de B = A × Aop dans elle-même est une involution de K-algèbre τ. La K-algèbre involutive qu'est B muni de τ est une appelée algèbre d'échange de A et on la note Ex(A). Par exemple, si A = K, K × K est canoniquement une algèbre involutive simple centrale sur K On suppose qu'il existe une extension quadratique séparable L de K, τ la conjugaison de L (l'unique automorphisme distinct de l'identité) et A une algèbre simple centrale sur L. Soit σ une involution de K-algèbre de A telle que, pour tout élément a de L et pour tout élément x de A, σ(ax) = τ(a)σ(x). Alors A muni de σ est une algèbre involutive simple centrale sur K. Par exemple, L est, pour τ, une algèbre involutive simple centrale.

Exemples concrets Involution adjointe Soit D un corps de dimension finie sur son centre et soit τ une involution de corps de D. Soient E un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur D et φ une forme sesquilinéaire non dégénérée sur E relativement à τ qui est hermitienne ou antihermitienne. Pour tout endomorphisme f de E, il existe un unique endomorphisme g de E tel que, quels que soient x et y dans E, φ(f(x), y) = φ(x, g(y)). On l'appelle adjoint de f pour φ, et on le note f*. L'application f → f* de l'anneau EndD(E) des endomorphismes de E dans lui-même est une involution d'anneau de EndD(E), appelée involution adjointe à φ. Si K est le sous-corps de D des éléments du centre de D tels que τ(a) = a, alors la K-algèbre EndD(E) est une algèbre involutive simple centrale sur K pour cette involution.

Soit J une involution d'anneau de EndD(E). Sans perte de généralité, on peut supposer que K est le sous-corps des éléments a du centre de D tels que J(a) = a. Alors il existe une involution de corps σ de K qui est K-linéaire et une forme sesquilinéaire non dégénérée ψ sur E relativement à σ qui est hermitienne ou antihermitienne tel que J est l'involution adjointe à ψ. Si ψ' est une autre telle forme sesquilinéaire sur E, il existe un élément non nul r de D tel que ψ' = ψr.

On obtient ainsi, à isomorphisme près, toute involutions d'anneaux sur une algèbre simple centrale sur un corps commutatif, puisque toute algèbre simple centrale sur un corps commutatif est de la forme End(F), où F est un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps de dimension finie sur son centre.

On suppose que V un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur K et soit J une involuition de K-algèbre de EndK(V). Alors il existe une forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique non dégénérée φ sur E telle que J est l'involution adjointe à φ.

Algèbre de matrices

Soient D un corps de dimension finie sur son centre, σ une involution de corps de D. Alors l'application M → tσ(M) de Mn(D) dans Mn(D) est une involution d'anneau τ de Mn(D). Si on note K le sous-corps de D des éléments a du centre de D tels que σ(a) = a, alors cette involution est K-linéaire, pour τ, la K-algèbre Mn(D) est une K-algèbre involutive simple centrale. Soit U un élément inversible de Mn(D) tels que τ(U) = U ou τ(U) = -U. Alors l'application M → Uτ(M)U-1 de Mn(D) est une involution de K-algèbre de Mn(D), pour laquelle Mn(D) est une algèbre involutive simple centrale sur K.

Toutes les involutions de K-algèbre de Mn(D) sont obtenues de cette façon, à partir d'une involution K-linéaire de D et d'un tel élément U de Mn(D).

Pour toute involution J de K-algèbre de Mn(K), il existe une matrice inversible U qui est symétrique ou antisymétrique telle que J est l'application M → UtMU-1 de Mn(K) dans Mn(K).

Algèbre involutive déduite d'un espace vectoriel

Soient D un corps de dimension finie sur son centre K et E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur D. Alors EndD(E) × EndD(E)op est une K-algèbre involutive simple centrale. De plus l'application f → tf de EndD(E)op dans EndD(E*) est un isomorphisme d'algèbres. En identifiant canoniquement E à son bidual E** (en associant à tout vecteur x l'évaluation en x), on obtient par transport de structure une involution de K-algèbre (f, g) → (tg, tf) de EndD(E) × EndD(E*).

En termes de matrices, on obtient une involution de K-algèbre (M, N) → (tN, tM) de Mn(D) × Mn(Dop).

Trois grands type d'algèbres involutives simples centrales

Soit A une algèbre involutive simple centrale sur K et σ l'involution de A. Alors le centre Z de l'anneau A est stable par l'involution de A, et la dimension de Z sur K est égale à 1 ou à 2. Si la dimension de Z sur K est 1, alors la K-algèbre sous-jacent à A est une algèbre simple centrale sur K. On dit alors que l'involution de A est de première espèce. Soit alors d le degré de A sur K (d2 = dimK A) et L un corps neutralisant de A (si A est isomorphe à Md(K), on peut prendre L = K). Alors la L-algèbre B = L ⊗K A déduite de A par extension des scalaires de K à L est isomorphe à Md(L) (si L = K, alors B = A), et soit alors f un isomorphisme entre ces deux L-algèbres. Alors il existe une unique involution de L-algèbre τ de B qui prolonge σ, et soit alors θ l'involution f o τ o f-1 de Md(L). Alors il existe une forme L-bilinéaire symétrique ou antisymétrique φ sur Ld pour laquelle θ est l'involution adjointe à φ. On dit que l'involution de σ est type orthogonal si φ est symétrique et non alternée, et on dit que σ est de type symplectique si φ est alternée. (Si la caractéristique de K est 2, alors symétrique et antisymétrique c'est la même chose, alors que antisymétrique n'est pas nécessairement alternée). Tous ça ne dépend que de σ (et non pas des choix de L, f et φ). Suivant le cas, on dit aussi que l'algèbre involutive A est de type orthogonal ou de type symplectique. Si la dimension de Z sur K est 2, alors Z est une algèbre étale quadratique, et l'involution induite sur Z par celle de A est la conjugaison de Z. On dit alors que l'involution de A est de seconde espèce ou de type unitaire et que l'algèbre involutive A est de type unitaire. Alors il y a deux possibilités: ou bien Z est déployée, c'est-à-dire Z est isomorphe à K × K, ou bien Z est une extension quadratique séparable de K (si la caractéristique de K est différente de 2, alors toute extension quadratique de K est séparable). Si la dimension de Z sur K est 2 et si Z est une extension quadratique de K, alors A est une algèbre simple centrale sur Z, et l'involution de A est « antilinéaire » pour la conjugaison τ de Z, c'est σ(ax) = τ(a)σ(x) pour tout élément a de Z et pour tout élément x de A. On suppose que la dimension de Z est 2, et que Z est déployée, c'est-à-dire isomorphe à K × K. Alors l'algèbre sous-jacente à A est semi-simple et n'est pas simple. Alors il existe deux idéaux bilatères minimaux I et J, et alors l'algèbre A tel que A est isomorphes I × J, et I et J considéré comme des sous-algèbres (non unitaires) de A sont des algèbres simples centrales (unitaires) sur K, et I et J sont déterminés par l'anneau A. De plus on a σ(I) = J et σ(J) = I, et alors l'isomorphisme de I sur J qui coïncide avec σ est un isomorphisme de Iop sur J, et on peut donc identifié J à Iop, et alors A est canoniquement isomorphe à Ex(I).

En résumé, il y a trois grands types de algèbres involutives simples centrales sur K : Celles qui sont de type orthogonal ; Celles qui sont de type symplectique ; Celles qui sont de type unitaire.

Exemples On note E un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur K et φ une forme bilinéaire symétrique ou alternée. Si φ est symétrique et non alternée, alors l'involution adjointe à φ est de type orthogonal. Si φ est alternée, alors l'involution adjointe à φ est de type symplectique. On note D un corps de dimension finie sur son centre et soit σ une involution de corps de D. On suppose que K est le sous-corps de D des éléments a du centre de D tel que σ(a) = a et soit φ une forme sesquilinéaire non dégénérée sur E relativement à σ qui est hermitienne ou antihermitienne, et on note τ l'involution adjointe à φ. Pour que τ soit de type unitaire, il faut et il suffit qu'il en soit de même de σ, c'est-à-dire que le centre du corps D soit différent de K (ce qui est le cas si D est commutatif et si σ est différent de l'identité, par exemple si D est le corps des nombres complexes et si σ est la conjugaison). On suppose que la caractéristique de D est différente de 2 et que σ n'est pas type unitaire. Si σ est de type orthogonal (ce qui est le cas si σ est l'identité), pour que τ soit de type orthogonal, il faut et il suffit que φ soit hermitienne (c'est-à-dire symétrique si σ est l'identité) et, pour que τ soit de type symplectique, il faut et il suffit que φ soit antihermitienne (c'est-à-dire alternée si σ est l'identité). Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps H des quaternions. Alors la conjugaison σ de H est une involution de type symplectique. Soit φ une forme sesquilinéaires hermitienne (resp. antihermitienne) non dégénérée sur E pour σ. Alors l'involution adjointe est de type symplectique (resp. orthogonal).

Algèbres involutives simples centrales sur certains corps commutatifs Corps algébriquement clos Si K est algébriquement clos (par exemple si K le corps des nombres complexes), alors toute algèbre involutive simple centrale sur K est isomorphe à l'une des algèbres involutives suivantes : Type unitaire: EndK(E) × EndK(E*), où E est un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur K;