En mathématiques, une forme hermitienne est une fonction de deux variables sur un espace vectoriel sur un corps relativement à un antiautomorphisme qui est involutif du corps, qui généralise les formes bilinéaires symétriques et les formes hermitiennes complexes. On peut aussi définir les formes antihermitiennes qui généralisent les formes bilinéaires alternées.
Les formes hermitiennes et antihermitiennes permettent, entre autres, de définir certains groupes classiques et leurs espaces homogènes. Ils sont aussi en lien avec certaines structures en géométrie projective et en théorie des anneaux (des involutions).
Généralités
Formes sesquilinéaires
Formes sesquilinéaires Soit D un corps, J une involution de corps de D, E un espace vectoriel à droite sur D, de dimension finie ou non. On appelle forme sesquilinéaire relativement à J sur E toute fonction f de E × E dans D qui est semi-linéaire à gauche par rapport à J et linéaire à droite, c'est-à-dire telle que, quels que soient les vecteurs x, y et z de E et l'élément a de D :
f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z) ; f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z) ; f(xa, y) = J(a)f(x, y) ; f(x, ya) = f(x, y)a.
Si Z désigne le centre D, l'ensemble des formes sesquilinéaires sur E relativement à J est une un sous-Z-espace vectoriel du Z-espace vectoriel des applications de E × E dans D.
Si J est l'identité de D, alors D est commutatif et les formes sesquilinéaires sur E relativement à J sont les formes bilinéaires sur E.
Formes hermitiennes et antihermitiennes Avec les notions précédentes, soit ε = 1 ou ε = –1. On dit qu'une forme sesquilinéaire h sur E relativement à J est ε-hermitienne si, quels que soient les éléments x et y de E, h(y, x) = εJ(h(x, y)) et on dit qu'elle est hermitienne si ε = 1 ou antihermitienne si ε = –1. On appelle forme ε-hermitienne (relativement à J) ou forme (J, ε)-hermitienne toute forme sesquilinéaire sur E relativement à J qui est ε-hermitienne.
Si J est l'identité (et alors D est commutatif et les formes sesquilinéaires ne sont autres que les formes bilinéaires), alors on parle de formes bilinéaires symétriques si ε = 1 ou antisymétriques si ε = –1.
Dans toute la suite, on note D un corps, J une involution de D et ε = 1 ou ε = –1. L'ensemble des éléments a du centre de D tels que J(a) = a est un sous-corps de D, que l'on note D0. On note E un espace vectoriel sur D et h une forme ε-hermitienne sur E relativement à J.
L'ensemble des formes ε-hermitiennes sur E relativement à J est un sous-D0-espace vectoriels du D0-espace vectoriel des fonctions de E × E dans D0.
Soit a un élément du centre de D. Si J(a) = a alors ah est une forme ε-hermitienne relativement à J (donc (ah)(x, y) = a(h(x, y)) quels que soient les vecteurs x et y). Si J(a) = -a et si ah est une forme (-ε)-hermitienne relativement à J, c'est-à-dire antihermitienne si h est hermitienne et hermitienne si h est antihermitienne.
Exemples Exemples d'involutions Les cas les plus importants de formes hermitiennes et antihermitiennes sont les suivantes. Si D est commutatif, les formes bilinéaires symétriques sur E, qui sont les formes hermitiennes relativement à l'identité de D. Les cas les plus importants sont les cas où D est le corps des nombres réels, où D est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2 (par exemple si D est le corps des nombres complexes), et où D est un corps fini de caractéristique différente de 2. Si D est commutatif, les formes bilinéaires antisymétriques sur E, qui sont les formes antihermitiennes relativement à l'identité de D, et si la caractéristique de D est 2, ce ne sont autres que les formes bilinéaires symétriques. En caractéristique différente de 2, les formes bilinéaire alternées et les formes bilinéaires antisymétriques, c'est la même chose, mais pas en caractéristique 2. La notion intéressante est celle de forme bilinéaire alternée. Les cas les plus importants sont les cas où D est le corps des nombres réels, où D est un corps algébriquement clos (par exemple si D est le corps des nombres complexes), et où D est un corps fini de caractéristique différente de 2. D est le corps des nombres C, les formes hermitiennes ou antihermitiennes sur E relativement à la conjugaison de C. Plus généralement, si D est une extension quadratique séparable d'un corps commutatif K (en caractéristique 2, toute extension quadratique séparable) et si J est la conjugaison de D (l'unique automorphisme de corps distinct de l'identité qui fixe K point par point), on peut considérer les formes hermitiennes et antihermitiennes pour J. Avec les formes hermitiennes et antihermitiennes complexes, le cas le plus important est le cas où D est une extension quadratique d'un corps fini. Si D est le corps H des quaternions et J est la conjugaison de H, on peut considérer les formes hermitiennes et les formes antihermitiennes relativement à J. Plus généralement si D est un corps de quaternions et J est la conjugaison de D, on peut considérer les formes hermitiennes et les formes antihermitiennes relativement à J.
Forme hermitienne ou antihermitienne définie par une matrice On suppose que E est de dimension finie n et soit alors B = (ei) une base ordonnée de E. On appelle matrice de h par rapport à B et on note MB(h) la matrice carrée A = (aij) de Mn(D) définie par aij = h(ei, ej) quels que soient 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n. En coordonnées par rapport à cette base, on a h((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) = J(xi)aijy j. On a tJ(A) = εA (où J(A) est la matrice obtenue de A en appliquant J aux coefficients de A). On obtient ainsi un isomorphisme de groupes (en fait un isomorphisme de D0-espaces vectoriels) entre le D0-espace vectoriel des formes ε-hermitiennes sur E et celui des matrices A de Mn(D) telles que tJ(A) = εA.
Réciproquement, si A est une matrice carrée de Mn(D) telle que tJ(A) = εA, il existe une unique forme ε-hermitienne k sur Dn pour laquelle la matrice de k par rapport à la base canonique de Dn est A. Si A = In (et alors ε = 1), on l'appelle forme hermitienne canonique sur Dn ou, si de plus J = IdD, on l'appelle aussi forme bilinéaire symétrique canonique.
Formes sesquilinéaires réflexives Soient K un corps, V est espace vectoriel de dimension (finie ou non) sur V et ψ une forme sesquilinéaire sur E relativement à un antiautomorphisme (quelconque) τ de D.
On dit que ψ est réflexive ou orthosymétrique si la relation d'orthogonalité dans V définie par φ est symétrique: quels que soient les x et y dans V, si φ(x, y) = 0, alors φ(y, x) = 0.
On suppose que ψ est réflexive et que le rang de ψ (la codimension dans V de l'orthogonal de V pour ψ) est supérieure ou égale à 2 (ce qui est la dimension de V est supérieure ou égale à 2 et si ψ est non dégénérée). Il existe un élément non nul a de K tel que aψ est une forme sesquilinéaire hermitienne ou antihermitienne relativement à une involution de K (qui est alors bien déterminé par aψ). Si τ n'est l'identité (c'est-à-dire si ψ n'est pas D-bilinéaire), alors il existe un tel que a tel que aψ est hermitienne, et il existe un tel que aψ tel que aψ est antihermitienne. La plupart des propriétés des formes sesquilinéaires réflexives sont préservées par multiplication par un scalaire.
Orthogonalité et dégénérescence Orthogonalité On dit que deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux pour h si h(x, y) = 0. L'ensemble des couples de vecteurs orthogonaux de E pour h est une relation binaire symétrique dans E.
Radical et dégénérescence L'orthogonal de E pour h, c'est-à-dire l'ensemble des x dans E tels que h(x, y) = 0 pour tout y dans E, est un sous-espace vectoriel de E. On l'appelle radical ou noyau de h et on le note Rad h ou Ker h.
On dit que h est dégénérée (ou singulière si E est de dimension finie) si le radical de h est non nul: 0 n'est pas l'unique vecteur de E qui est orthogonal à tous les autres vecteurs de E pour h. On dit que h est régulière ou non dégénérée si h n'est pas dégénérée : 0 est l'unique vecteur de E qui est orthogonal à tous les autres vecteurs de E pour h.
Bases orthogonales et bases symplectiques On suppose que E est de dimension finie non nulle n et que h est non dégénérée. Base orthogonale
On dit qu'une base ordonné (ei) de E est orthogonale pour h si la matrice de h par rapport à (ei) est diagonale: quels que soient h(ei, ej) = 0 quels que soient 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n tels que i ≠ j. Alors, il existe des éléments non nuls a1, ..., an de D tels que, en coordonnées par rapport à cette base, on a h((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) = J(xi)ai yi, et alors, pour tout i, J(ai) = εai.
On dit que cette base est orthonormale si la matrice de h par rapport à cette base est la matrice unité: en coordonnées, on ah((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) = J(xi)yiThéorèmes. On exclut le cas suivant: J est l'identité de D (et alors D est commutatif) et h est une forme bilinéaire alternée. Alors il existe une base orthogonal de E pour h.
Base symplectique
On suppose que h est une forme bilinéaire alternée. Alors h(x, x) = 0 pour tout x dans E, et il ne peut exister de base orthogonale. De plus n est pair (n = 2p), et il existe une base ordonnée de E pour laquelle la base de h par rapport à cette base est : en coordonnée, par rapport à cette base, on a h((x1, ..., x2p), (y1, ..., y2p)) = (xiyi+p - xi+pyi). On dit qu'une telle base est symplectique.
Formes hermitiennes ou antihermitiennes traciques On dit que la forme ε-hermitienne h sur E est tracique s'il existe une forme σ-sesquilinéaire s sur E tel que h(x, y) = s(x, y) + εJ(s(y, x)) quels que soient x et y dans E. Il est aussi équivalent de dire que, pour tout élément x de E, il existe un scalaire a de E tel que h(x, x) = a + εJ(a).
Exemples Si la caractéristique de D est différente de 2, alors toute forme ε-hermitienne est tracique. Si l'involution induite par J, sur le centre de D est différente de l'identité (par exemple si D est commutatif et si J est différent de l'identité), alors toute forme ε-hermitienne relativement à J est tracique. Si J est l'identité de D et la caractéristique de D est 2, alors h est bilinéaire symétrique (ou antisymétrique, c'est la même chose dans ce cas) et pour que h soit tracique, il faut et il suffit que h soit alternée, c'est-à-dire que h(x, x) = 0 pour tout x dans E.
Parmi les formes ε-hermitiennes, celles qui sont traciques sont celles qui ont les meilleures propriétés (structure, groupes, géométrie).
Isométries et similitudes Isométries et similitudes linéaires Dans cette partie, on note F un espace vectoriel sur D et k une forme ε-hermitienne sur F relativement J.
On appelle isométries linéaire de E sur F pour h ou h tout isomorphisme d'espaces vectoriels f de E sur F telle que k(f(x), f(y)) = h(x, y) quels que soient x et y dans E. Si E = F et h = k, on parle alors d'isométrie linéaire ou, plus simplement, d'isométrie de h.
On appelle similitude linéaire de E sur F tout isomorphisme d'espaces vectoriels f de E sur F telle qu'il existe un élément non nul a de D tel que k(f(x), f(y)) = ah(x, y) quels que soient x et y dans E, et si h et k ne sont pas identiquement nul, il existe un unique tel élément a de D, et on l'appelle multiplicateur de f et on le note μ(f). Si E = F et h = k, de similitude linéaire ou, plus simplement, de similitude de h. On peut montrer le multiplicatif a de f appartient au centre de D et que J(a) = a (autrement dit a appartient à D0.
On dit que h et k sont équivalentes ou isométriques s'il existe une isométrie linéaire de E sur F pour h et k. On dit que h et k sont semblables s'il existe une similitude linéaire de E sur F pour h et k ou, ce qui est équivalent, . Il est aussi équivalent de dire qu'il existe un scalaire non nul b tel que k et bh sont équivalentes.