En théorie des probabilités, la loi de Gauss-Kuzmin est une loi de probabilité discrète à support infini qui apparaît comme loi de probabilité asymptotique des coefficients dans le développement en fraction continue d'une variable aléatoire uniforme sur . Le nom provient de Carl Friedrich Gauss qui considéra cette loi en 1800, et de Rodion Kuzmin qui donna une borne pour la vitesse de convergence en 1929 par l'intermédiaire de la fonction de masse :
Théorème de Gauss-Kuzmin Soit une variable aléatoire uniforme sur et
son développement en fraction continue. Alors
Ou de manière équivalente, en notant alors
converge vers 0 quand tend vers l'infini.
Vitesse de convergence En 1928, Kuzmin donne la borne .
En 1929, Paul Lévy l'améliore en majorant . Plus tard, Eduard Wirsing montre. que pour (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing.), la limite
existe pour tout , et la fonction est analytique et satisfait . D'autres bornes ont été établies par K. I. Babenko..
Article connexe Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing
Notes et références
Gauss-Kuzmin, Loi de Catégorie:Fraction continue