Dans le domaine mathématique de la K-théorie algébrique, le groupe de Steinberg St(A) d'un anneau unitaire A est un groupe défini par générateurs et relations, à partir de certaines relations vérifiées par les matrices élémentaires de transvections. Il est nommé d'après Robert Steinberg. et est relié aux premiers groupes de K-théorie, en particulier K et K.
Relations de Steinberg Les matrices élémentaires de transvections e(λ) pour p ≠ q — avec des 1 sur la diagonale, un coefficient λ en position (p, q), et des 0 partout ailleurs — vérifient les relations suivantes, appelées relations de Steinberg :
Le groupe de Steinberg « stable » St(A) est défini par les générateurs x(λ) (i, j ∈ ℕ*, i ≠ j, λ ∈ A), soumis à ces relations. C'est la limite inductive des groupes de Steinberg « non stables » St(A), définis de même mais pour i, j ≤ n.
Le groupe général linéaire « stable » GL(A) est défini comme la réunion croissante des GL(n, A), via l'identification de toute matrice carrée M de taille n à la matrice diagonale par blocs diag(M, 1), de taille Par construction, il existe un unique morphisme de groupes φ : St(A) → GL(A) qui envoie les x(λ) sur les e(λ).
D'après le lemme de Whitehead, l'image de φ est le groupe dérivé de GL(A), c'est-à-dire que les matrices élémentaires de transvections engendrent, dans GL(A), le même sous-groupe que les commutateurs. Ce sous-groupe est noté E(A).
Liens avec la K-théorie K Le groupe K(A) est défini comme l'abélianisé de GL(A), c'est-à-dire le quotient de GL(A) par son sous-groupe dérivé E(A). Autrement dit, c'est le conoyau de φ.
K MilnorVoir aussi : K-théorie de Milnor. a défini K(A) comme le centre de St(A).
C'est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), de sorte qu'on a une suite exacte 1 → K(A) → St(A) → E(A) → 1.
Cette suite est en fait l'extension centrale universelle du groupe parfait E(A). Autrement dit, K(A) est le multiplicateur de Schur de E(A). Il s'écrit donc aussi comme un groupe d'homologie :
K Gersten a démontré que K(A) = H(St(A), ℤ).
Notes et références
Catégorie:Algèbre homologique Catégorie:K-théorie