Le plan de Mysior est un espace topologique construit en 1981 par le mathématicien polonais Adam Mysior. et vérifiant des propriétés de séparation particulières : c'est un espace régulier non complètement régulier, plus simple que les contre-exemples antérieurs exemples 90, 91, 92 et 94 de ..
Définition L'ensemble sous-jacent à cet espace est le demi-plan supérieur auquel on ajoute un point P, choisi par exemple égal à (0, –1) :
On définit pour chaque point (x, y) de une base de voisinages : si y > 0, le singleton {(x, y)} est un voisinage de (x, y), c'est-à-dire que tous les points du demi-plan ouvert sont isolés ; chaque voisinage de base d'un point (x, 0) de l'axe horizontal est constitué de ce point et de tous les points de R sauf un nombre fini, où R est la réunion de l'intervalle vertical V := {(x, t) | 0 ≤ t < 2} et de l'intervalle oblique O := {(x + t, t) | 0 ≤ t < 2} ; les voisinages de base du point P sont les ensembles U := {P} ∪ {(s, t) | s > n, t ≥ 0}, pour n = 1, 2, …
Ces bases de voisinages définissent une topologie sur . L'espace topologique est appelé le plan de Mysior, 2.5,4., III.2..
Propriétés
Le point P est limite de toute suite (x, y) dans telle que x → .
L'espace est séparé. Il est même régulier, car tout point possède une base de voisinages fermés : pour les points autres que P, les voisinages ci-dessus sont fermés et pour le point P, il suffit de remarquer que l'adhérence de U est incluse dans U (c'est la réunion de U et de l'intervalle horizontal {(s, 0) | n < s ≤ n + 2}).
Il n'est pas complètement régulier car toute application continue f de X dans ℝ nulle sur le fermé {(s, 0) | s ≤ 1} est nulle en P.
Il suffit de montrer que pour tout entier n ≥ 1, l'ensemble K des points de la forme (x, 0) avec n – 1 ≤ x ≤ n en lesquels f s'annule est infini. Procédons par récurrence. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, soit C un ensemble infini dénombrable inclus dans K. Pour tout point (c, 0) de C, f s'annule sur tout l'intervalle oblique O privé d'un sous-ensemble au plus dénombrable D. La réunion de ces ensembles D est alors au plus dénombrable donc sa projection P sur l'axe horizontal y = 0 aussi, si bien que l'ensemble des points (x, 0) ∉ P tels que est infini. On conclut en remarquant que cet ensemble est inclus dans K, c'est-à-dire que f s'annule en chacun de ces (x, 0), puisqu'elle s'annule en une infinité de points de l'intervalle vertical V (chaque point d'intersection de V avec un O, quand (c, 0) parcourt C).
Notes et références
Catégorie:Espace topologique remarquable