thumb|right|Une équation cubique admet au plus trois solutions réelles. En mathématiques, une équation cubique ou équation du troisième degré, est une équation polynomiale de degré 3, de la forme avec non nul, où les coefficients , , et sont en général supposés réels ou complexes.
Historique
Antiquité Les équations cubiques étaient connues des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens....
On a trouvé des tablettes babyloniennes () avec, en écriture cunéiforme, des tables de calcul de cubes et de racines cubiques... Les Babyloniens auraient pu utiliser ces tables pour résoudre des équations cubiques, mais on n'en a aucune preuve..
Le plus simple et le plus ancien des problèmes du , le problème de la duplication du cube, était considéré par les anciens Égyptiens comme insolubleSelon : .. Au , Hippocrate réduisit ce problème à celui de trouver deux proportions entre une longueur donnée et son double (), mais il ne pouvait pas les construire à la règle et au compas., tâche dont on sait maintenant qu'elle est impossible.
On suppose qu'Hippocrate, Ménechme (vers 380 à 320 av. J.-C.) et Archimède (Syracuse, 287 à 212 av. J.-C.) sont arrivés près de résoudre géométriquement le problème de la duplication du cube par intersection de coniques : Ménechme, pour obtenir tel que , se ramène à l'intersection de (parabole) et de (hyperbole). Si des historiens des mathématiques comme Reviel Netz mettent en doute le fait que les Grecs pensaient aux équations cubiques comme telles, et pas seulement à des problèmes qui peuvent y conduire, quelques autres, comme Thomas Heath (qui a traduit les œuvres d'Archimède) sont en désaccord, avançant qu'Archimède a non seulement résolu des équations cubiques par intersection de deux coniques, mais a même discuté des conditions pour que les solutions soient au nombre de 0, 1 ou 2.. Archimède avait cherché à couper une sphère de rayon par un plan de façon que le rapport des volumes des deux parties ait une valeur donnée . Cela donne une équation du : si est la hauteur d'une des parties, alors .
Au , le mathématicien grec Diophante trouve des solutions réelles ou rationnelles pour certaines équations cubiques à deux variables (équations diophantiennes)..
Moyen Âge Des méthodes de résolution d'équations cubiques apparaissent dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, un texte mathématique chinois écrit autour du et commenté par Liu Hui au . Au (sous la dynastie Tang), l'astronome et mathématicien Wang Xiaotong, dans son traité mathématique intitulé Jigu Suanjing, pose systématiquement et résout numériquement 25 équations cubiques de la forme , dont vingt-trois avec , et deux avec ..
Au , le poète-mathématicien Omar Khayyam (1048-1131), originaire de Perse, fait des progrès significatifs dans la théorie des équations cubiques. Il découvre qu'une équation cubique peut avoir plus d'une solution et déclare qu'elle ne peut pas être résolue à la règle et au compas. Il trouve aussi une solution géométrique .Selon : .. Il est le premier, dans son traité ultérieur Démonstrations de problèmes d'algèbre (vers 1070), à classifier complètement les équations cubiques, par intersection de coniques, donnant le nombre des racines réelles et des solutions géométriques généralesSelon O'Connor et Robertson, « Omar Khayyam » , : .Selon : ..
Un siècle plus tard, le mathématicien indien Bhaskara II essaye de résoudre des équations cubiques, sans succès. Cependant, il donne un exemple d'une équation cubique : ..
Au encore, un autre mathématicien persan, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), écrit le Al-Mu'ādalāt (Traité sur les équations), où il classe les équations cubiques suivant l'existence de racines strictement positives, et non pas, comme Omar Khayyam, suivant le signe des coefficients. Son étude porte sur huit types d'équations cubiques avec des solutions positives, et cinq types d'équations cubiques qui peuvent ne pas avoir de solutions positives. Il inaugure à cet effet l'étude des fonctions polynomiales, introduisant leur dérivée, recherchant leurs extrema, etc... Il comprend l'importance du discriminant pour trouver des solutions algébriques à certains types d'équations cubiques.. Il utilise aussi ce qui sera connu plus tard comme la « méthode de Ruffini-Horner » pour approcher numériquement la solution d'une équation cubique. Il résout les problèmes liés à l'homogénéité de dimension : le nombre s'identifie aussi bien à une longueur qu'à une aire rectangulaire de côtés et ou encore à un volume .
Leonardo Fibonacci a donné, dans son ouvrage Flos (1225), une valeur approchée extrêmement précise (à 10 près) de la solution positive de l'équation cubique : en base 60, il a donné le résultat 1, 22, 7, 42, 33, 4, 40, qui signifie : 1 + 22/60 + 7/60 + 42/60 + 33/60 + 4/60 + 40/60..
Renaissance
Scipione del Ferro En 1494, Luca Pacioli écrit un important traité : . Il y fait la somme des connaissances en mathématiques (plus particulièrement en algèbre) transmise par les Arabes. On trouve dans ce traité la résolution complète des équations des premier et deuxième degrés sans les solutions négatives. Concernant les équations de degré trois, il reconnait que celles-ci semblent non résolubles par des méthodes algébriques, compte tenu des connaissances mathématiques atteintes.
Scipione del Ferro est enseignant à l'université de Bologne de 1496 à 1526. Il est possible qu'il y ait rencontré Luca Pacioli qui y enseignait entre 1501 à 1502.. La suite de l'histoire ne nous est connue que par les témoignages de son gendre, Annibal de la Nave (ou Hannival Nave), marié à sa fille, Filippa, et d'un de ses élèves Antonio Maria del Fiore. Vers les années 1510-1515, del Ferro aurait découvert une méthode fournissant une solution, sous forme de radicaux, de la racine réelle de l’équation du troisième degré sans terme quadratique (coefficient de nul). La découverte de cette formule est un immense pas en avant dans l’histoire des équations. Les travaux de del Ferro portent essentiellement sur la résolution des équations de la forme , ou , où et sont des entiers naturels (on ne travaillait autrefois qu’avec des nombres positifs, les nombres négatifs paraissent encore étranges et d'un maniement délicat), formes aujourd’hui unifiées et généralisées par où et sont des entiers relatifs.
Il consigne ses travaux dans des notes personnelles et dans un cahier. En raison de sa réticence (courante à l’époque), il ne publie pas son œuvre, et ne veut communiquer ses travaux qu’à un groupe très réduit de personnes, quelques amis et élèves.
À sa mort en 1526, son gendre, Annibal de la Nave, également mathématicien, qui lui succède à l'université de Bologne Encyclopaedia Universalis, del Ferro Scipione, aurait hérité de ses notes, et donc de toutes ses découvertes inscrites dans ce fameux cahier. Selon Morris Kline, del Ferro aurait confié sa méthode à la fois à Fiore et à de la Nave.. Toutefois, ses notes ont depuis définitivement disparu, et il ne reste aucune trace directe de ses travaux.
Niccolò Fontana Tartaglia vignette|Niccolò Fontana Tartaglia. Le reste des évènements est raconté par Tartaglia et Cardan.
En 1530, Niccolò Fontana Tartaglia reçoit deux problèmes d'équations cubiques de Zuanne da Coi. Da Coi est connu pour proposer des problèmes dont lui-même ne connait pas la solution. Une des équations est de la forme et Tartaglia lui répond qu'il est convaincu de connaitre une méthode générale de résolution pour ce type d'équation. Il est aussitôt contesté par Fiore, ce qui les conduit à un célèbre concours, en 1535. Chaque participant doit proposer trente problèmes dont il connait la résolution à son rival, le gagnant doit offrir 30 banquets au perdant.
Fiore propose des questions se réduisant à des équations de la forme , pour lesquelles il connait une méthode générale de résolution. Les questions de Tartaglia sont plus diverses et certaines d'entre elles conduisent à des équations de la forme . Selon Tartaglia, il ne connaissait alors pas de méthode de résolution pour les équations de Fiore et ce n'est que 8 jours avant la date limite du concours qu'il aurait trouvé la méthode générale et aurait résolu en quelques heures les trente équations proposées par son concurrent alors que ce dernier n'aurait pas pu résoudre toutes les siennes.
Beau joueur, il renonce à réclamer le prix des trente banquets. Il conserve secrète sa méthode de résolution, à l’instar de Scipione del Ferro.
Jérôme Cardan En tant que conférencier de mathématique à Milan, Jérôme Cardan connaissait le problème de la résolution du . Il était d'accord avec la Summa de Luca Pacioli qui déclarait que la résolution algébrique des équations du était impossible. Il est donc très intrigué après le défi entre Fiore et Tartaglia. En 1539, il contacte Tartaglia et lui demande de lui confier sa méthode en lui promettant de garder le secret. Ce dernier refuse. Cardan lui propose de le présenter au Marquis d'Avalos, gouverneur de Milan, qui pourrait apporter à Tartaglia protection et soutien . Tartaglia révise alors sa position, réalisant que l'appui du gouvernement milanais pouvait être une aide non négligeable à son ascension sociale. Il accepte de se rendre à Milan et finit par céder aux arguments de Cardan. Il consent à lui révéler sa méthode de résolution des équations incomplètes, à condition que ce dernier jure de ne jamais la divulguer. Il la lui confie sous la forme cryptée d'un poème que Cardan met quelque temps à comprendre.
En 1542, Cardan et Ludovico Ferrari se rendent à Bologne et apprennent d'Annibal de la Nave que Scipione del Ferro avait résolu bien avant Tartaglia les équations du . Pour le leur prouver, il leur aurait montré le cahier du feu Del Ferro. Bien qu'il ait juré de ne jamais révéler la méthode de Tartaglia, Cardan pense que rien ne l'empêche de publier celle de Del Ferro.
En 1545, Cardan publie Ars Magna (Le Grand Art). Il y expose la méthode de résolution de Tartaglia en lui en attribuant bien la paternité. Il complète son exposé par une justification de la méthode et l'étend à l'ensemble de tous les autres cas. Il publie, à cette occasion, la méthode de résolution de l'équation du mis au point par son élève Ludovico Ferrari. L'importance de l’œuvre de Cardan fait que la postérité ne retiendra que son nom et que cette méthode de résolution va porter le nom de méthode de Cardan.
Tartaglia est furieux quand il découvre que Cardan a transgressé sa promesse. Il publie, en 1546, un livre Quesiti et inventioni diverse (Quelques problèmes et inventions) dans lequel il révèle sa version de l'histoire et sans cacher le parjure de Cardan. Furieux, il y insulte violemment Cardan qui est défendu par Ferrari. S'ensuivent une série de défis et de réponses entre Ferrari et Tartaglia qui les conduisent à un débat public en 1548, dans une église à Milan devant quelques personnalités. Sur l'issue de ce débat, les récits diffèrent : d'après Cardan, Ferrari aurait fait une meilleure prestation que Tartaglia, tandis que Tartaglia accuse Ferrari d'avoir réuni un public acquis à sa cause qui l'aurait empêché de développer ses idées. Tartaglia déclare alors forfait et quitte Milan.