Bluff

Le bluff, prononcé en français , est une technique de jeu qui consiste à jouer comme si l'on avait un jeu différent de celui détenu en réalité.

Il existe deux types de bluffs : Le bluff psychologique joue sur un coup particulier. En affichant une ligne de jeu irrationnelle, il peut induire les adversaires en erreur et les pousse à la faute. Selon les cas, il est parfois intéressant de faire croire à un jeu plus faible qu'il ne l'est réellement (type de bluff appelé slowplay au poker). Le bluff rationnel s'insère dans une stratégie globale. En affichant volontairement un comportement parfois erratique, il entretient l'incertitude des adversaires et les empêche d'analyser de manière précise les lignes de jeu suivies.

Le bluff est très utilisé dans de nombreux jeux de cartes, dont principalement le poker. Il est également utilisé dans de nombreux jeux de société. Il s'agit généralement de faire croire aux adversaires que l'on va jouer d'une certaine manière alors que l'intention réelle est tout autre. Le bluff est très présent dans des jeux comme Adel verpflichtet, Vive le roi !, Perudo ou Maka Bana et la belote de comptoir.

Au poker

Vous jouez au poker. Vous venez de miser votre chemise et votre pantalon contre un joueur ayant, pensez-vous, une main meilleure que la vôtre, alors que vous n'avez qu'une paire de deux.

Il ne vous reste plus qu'à bluffer.

Vous devez faire croire à votre adversaire que vous possédez un très bon jeu alors que ce n'est pas le cas. Pour lui faire croire, tous les coups sont permis : les petits clins d'œil amusés, les faux sourires

Un joueur qui tente un bluff « psychique » doit inciter ses adversaires à relancer, non à venir "pour voir". Il doit donc initialement miser bas, s'il veut inciter à la relance, puis doit augmenter sa mise rapidement, de manière que ses adversaires soient en permanence persuadés qu'ils ont un jeu nettement supérieur (pour relancer) ou nettement inférieur (pour se coucher): si sa mise est insuffisante, il court le risque que son adversaire décide d'aller "pour voir" et que son bluff s'effondre. Si un joueur passe pour un ordinateur qui ne bluffe jamais, ses relances n'affichent qu'un jeu fort, qui dissuadera ses adversaires de venir voir. Inversement, s'il passe pour un fantaisiste susceptible de bluffer fréquemment, sa relance n'aura pas un effet dissuasif sur ses adversaires, qui hésiteront moins à venir voir. Pour jouer des bluffs psychologiques, il faut donner une image de joueur très raisonnable, qui relance rarement et toujours avec raison, ce qui permet de remporter quelques coups de bluff sans être inquiété.

Le bluff sur une main faible n'est nullement une tentative de tromperie, ou un passage en force contre les statistiques, mais simplement un investissement à faire, judicieusement calculé pour augmenter ses gains sur l'ensemble de la partie. L'effet du bluff n'est pas sur les mains faibles (où le résultat est statistiquement indifférent), mais bien sur les mains fortes:

Pour qu'un joueur puisse rentabiliser ses mains fortes, il est souhaitable que ses adversaires suivent ses relances, donc de montrer qu'on bluffe régulièrement: cette stratégie de bluff rationnel permettra de rentabiliser un jeu agressif.

La stratégie optimale est discutée ci-dessous.

Mathématiques du bluff optimal Paire améliorée contre tirage amélioré

On suppose qu'Alice a ouvert, et a demandé deux cartes (montrant a priori une paire), et Bob a suivi et a demandé une carte (montrant a priori un tirage).

Du point de vue de Alice, après avoir eu sa nouvelle carte, Bob peut alors se trouver avec trois types de mains possible : Main possible de l'adversaire après qu'il a tiré une carte : Rien Paire DP Br Q C F K QFProbabilité qu'il ait cette main32,9 % 15,0 % 37,4 % 0,0 % 3,9 % 7,0 % 3,5 % 0,2 % 0,0 %Probabilité qu'il batte cette main67,1 % 52,0 % 14,6 % 14,6 % 10,8 % 3,7 % 0,3 % 0,0 % 0,0 % Bob peut n'avoir rien ou une paire (dans 48 % des cas au total). Alice, qui avait a priori une paire, ce qui est facile à améliorer, le bat très probablement dans ce cas. Sauf s'il bluffe, Bob se couchera certainement. Bob peut avoir une double paire (dans 37,4 % des cas), que ce soit d'entrée ou après avoir eu sa nouvelle carte. Si Alice n'a pas mieux qu'une double paire il est probable qu'ils ne chercheront à relancer ni l'un ni l'autre : sauf s'il bluffe, Bob suivra probablement l'ouverture d'Alice sans relancer. Bob peut avoir réalisé son tirage (dans 14,6 % des cas, soit une fois sur sept). Dans ce cas, Bob sait qu'il gagne contre Alice tant qu'elle n'a pas de Full ou de Carré, c’est-à-dire dans 94,4 % des cas, son jeu est pratiquement à un contre vingt, qu'Alice ait un Brelan ou une double paire. Il fera certainement monter les enchères, pour faire payer à Alice le droit éventuel de voir sa main. Sur ce, Alice ouvre du pot, affichant un jeu potentiellement gagnant, probablement une double paire ou un brelan. Du point de vue de Alice, si Bob décide de relancer fortement, il affiche un jeu "fortement gagnant", qui en principe ne peut pas être une double paire : le jeu justifiant une relance forte est un tirage réussi, qui a donc débouché sur une couleur ou une quinte. Ceci étant, si on imagine qu'il puisse bluffer, il peut aussi bien le faire avec une double paire d'entrée (ce ne serait alors qu'un semi-bluff) ; mais pour ne pas trop compliquer la situation, que les mains ne peuvent pas être de force équivalente avec une double paire : Alice a au moins un brelan, et/ou Bob n'a pas une double paire.

Si Bob a réalisé son tirage de quinte ou de couleur, il peut donc se permettre de relancer. Mais à quel niveau? Tout dépend en fait de la fréquence à laquelle Bob bluffe dans ce cas. La relance de Bob affiche un jeu qui ne devrait se présenter que dans b=14,6 % des cas, et Alice doit choisir entre trois positions possibles : Si elle a elle-même une main gagnante (Full ou carré, avec une probabilité a=5,6 %), elle suivra certainement (ou relancera). Si elle n'a pas de main très forte, elle peut choisir de suivre (avec une fréquence α % qu'elle choisit) pour sanctionner un bluff éventuel, et empêcher Bob de bluffer trop souvent - mais ceci implique qu'elle doit payer plus cher si Bob en réalité ne bluffe pas. Dans les autres cas elle peut passer.

Point neutre du bluff

Alice peut décider de sanctionner un éventuel bluff (avec une fréquence α), et Bob peut avoir décidé de bluffer (avec une fréquence β).

Si Bob a une main faible, le choix pour lui est entre bluffer ou passer. S'il décide de bluffer un peu, le risque qu'il prend dépend de la stratégie d'Alice: il risque une perte supplémentaire du montant de sa relance R (avec une fréquence de a+ α), mais peut récupérer le pot P tant qu'Alice ne suit pas (le reste du temps). Le point d'équilibre pour Bob est atteint si R(a+ α) = P(1-(a+ α)), c’est-à-dire (a+α) = P/(P+R), et ce point d'équilibre ne dépend que de la probabilité qu'Alice a d'aller voir. Si Alice sanctionne moins fréquemment, le bluff de Bob peut être plus fréquent, si Alice sanctionne plus fréquemment, le bluff de Bob doit être moins fréquent, et si Alice joue exactement sur ce point neutre, le gain de Bob ne dépend pas de son taux de bluff.

Face à une relance de Bob, même si Alice a une main potentiellement perdante, elle peut néanmoins décider de sanctionner un éventuel bluff, en "suivant" la mise. Le tableau suivant décrit les trois choix d'Alice et ses gains possibles, après que Bob a décidé de relancer :

(Gains pour Alice) Alice a un Full ou un CarréFréquence a=5,6 % Alice sanctionne un bluffFréquence α % Alice passe sur la relanceFréquence 1-(α+5,6) % Bob a eu son tirageFréquence b=14,6 % Alice Gagne le pot et la relanceP+R Alice perd la relance-(R-r) Bob gagne le pot--- Bob décide de blufferFréquence β Alice gagne le pot et la relanceP+R Alice gagne le pot et la relanceP+R Bob gagne le pot--- Alice perdra sa relance (R-r)La relance complémentaire de Alice n'est que de R-r, parce que dans la relance de Bob, il faut retirer la partie r qu'il devait mettre pour suivre, et que Alice a donc déjà misée à ce stade. dans les b=14,6 % de fois où le tirage de Bob s'est réalisé, mais avec une fréquence de β % elle récupère à la fois le pot et la relance de Bob. L'équilibre est atteint quand (R-r).(b)=β.(P+R), ce qui ne dépend que du taux de bluff de Bob (et bien sûr, de son niveau de relance). Si β<b.(R-r)/(P+R), chercher à sanctionner un bluff est une perte d'argent en moyenne, donc il vaut mieux laisser bluffer sans rien faire. Si au contraire β est supérieur à cette limite, la sanction d'un bluff éventuel rapporte en moyenne de l'argent, donc il vaut mieux suivre systématiquement.

Le point neutre est atteint pour les deux joueurs quand Alice vient voir les relances avec une probabilité a+α=P/(P+R), et que Bob bluff avec une probabilité β=b.(R-r)/(P+R). Si Bob conserve exactement ce taux de bluff, il gagnera en moyenne autant, quelle que soit la stratégie de Alice: il gagnera plus grâce au bluff si Alice vient voir moins souvent, et plus grâce aux tirages réussis si Alice vient plus souvent. De même, si Alice conserve rigoureusement ce taux de suivi, elle gagnera autant, quelle que soit la stratégie de Bob.

Il faut souligner que la fréquence optimale du bluff β est toujours inférieure à b, celle de la main gagnante prétendue: quand un bluffeur rationnel affiche une main forte, elle est présente plus d'une fois sur deux. Inversement, donc, si un bluffeur montre sa main forte moins d'une fois sur deux quand on vient le voir, son bluff n'est pas rationnel mais psychologique, et la bonne stratégie consiste à venir le voir beaucoup plus souvent.

Gain apporté par le bluff

Quel est l'intérêt de jouer sur le point neutre ? Le gain peut se calculer simplement en supposant qu'Alice est sur le point neutre, et Bob ne bluffe jamais (puisqu'il suffit qu'un des deux joueurs y soit pour que le résultat soit neutre). Le tableau suivant donne les gains possibles de Bob, après qu'il a relancé : (Gains pour Bob) Alice a un Full ou un CarréFréquence a=5,6 % Alice sanctionne un bluffFréquence α % Alice passe sur la relanceFréquence 1-(α+5,6) % Bob a eu son tirage et relance Bob perd le pot et la relance-R Alice perd la relanceR Bob gagne le potP Sans bluff, quand son tirage réussit, Bob gagne le pot avec une fréquence (1-a), et perd sa relance avec une fréquence de a=5,6 %. Globalement, son gain sans bluff est P(1-a)-R(a). Avec bluff, il oblige Alice à venir jouer au point neutre en venant voir avec une fréquence supplémentaire α, ce qui lui fait gagner à présent P(1-a-α)-R(a)+(P+R).α La différence entre les deux situations est (P+R)α-Pα = αR: en moyenne, Bob gagne exactement le montant de ses relances qu'Alice doit accepter de suivre, sur ses tirages réussis. On voit que l'effet du bluff n'est pas sur les mains faibles (où le résultat est statistiquement indifférent), mais bien sur les mains fortes:

Le bluff sur une main faible n'est donc nullement une tentative de tromperie, ou un passage en force contre les statistiques, mais simplement un investissement à faire, judicieusement calculé pour augmenter ses gains sur l'ensemble de la partie.

Raison pour jouer au point neutre

Pour Bob, jouer au point neutre présente un avantage financier direct: en moyenne il gagnera plus d'argent que sans bluff, que ce soit sur ses mains fortes valorisées par les suivis de Alice, ou sur les bluffs non tenus. Le jeu sur le point neutre présente un avantage psychologique et statistique: comme la rentabilité du coup ne dépend plus de facteurs psychologiques, il s'assure un jeu régulier, sans surprise financière. Le seul inconvénient est de s'astreindre à ne bluffer que dans les limites rationnelles, sans se laisser guider par son inspiration. Ceci étant, il peut continuer à le faire de temps en temps: ce sera statistiquement indétectable.