En mathématiques, le plongement de Kuratowski permet d'identifier tout espace métrique à une partie d'un espace de Banach (de façon non canonique). Théorème de Kuratowski-Wojdysławski Si est un espace métrique, un point de et l'espace de Banach des applications bornées de dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme, alors l'application
définie par
est une isométrie, dont l'image est fermée dans son enveloppe convexe..
Si est borné, on peut définir une telle isométrie plus simplement, en posant ()., ..
On peut bien sûr restreindre l'ensemble d'arrivée au sous-espace vectoriel fermé de constitué des applications bornées continues..
Utilisations Ces plongements sont utiles parce que les espaces de Banach ont certaines propriétés que ne possèdent pas tous les espaces métriques : ce sont des espaces vectoriels — ce qui permet d'ajouter des points et de pratiquer de la géométrie élémentaire sur les droites, les plans — et ils sont complets. Étant donné une application f dont l'ensemble d'arrivée est X, on peut vouloir étendre f à un ensemble de définition plus grand, ce qui nécessite souvent d'agrandir en même temps son ensemble d'arrivée, en un espace de Banach contenant X. Histoire Formellement, Kazimierz Kuratowski fut le premier à introduire ce plongement., mais une variante très proche apparaît déjà dans des articles de Fréchet. Ces articles l’utilisent respectivement pour exhiber comme un espace métrique séparable "universel" (il n'est pas lui-même séparable, d'où les guillemets) et pour construire une métrique générale sur ℝ comme pullback de la métrique sur une simple courbe de Jordan dans .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes , un plongement d'un espace métrique dans un , défini de façon analogue au plongement de Kuratowski Théorème de la goutte, un exemple d'utilisation Liens externes
Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Espace métrique