En mécanique quantique, le théorème de Hellmann-Feynman relie d'une part la dérivée de l'énergie totale par rapport à un paramètre, et d'autre part l'espérance quantique de la dérivée de l'hamiltonien par rapport à ce même paramètre. D'après ce théorème, une fois que la distribution spatiale des électrons a été déterminée par la résolution de l'équation de Schrödinger, toutes les forces du système peuvent être calculées via l'électrodynamique classique.
Ce théorème a été démontré indépendamment par de nombreux auteurs, notamment Paul Güttinger (1932)., Wolfgang Pauli (1933)., Hans Hellmann (1937). et Richard Feynman (1939)..
Enoncé
Le théorème s'énonce, avec la notation bra-ket (ou notation de Dirac) : où :
est un opérateur hamiltonien qui dépend d'un paramètre continu ; est une fonction d'onde propre (fonction propre) de l'hamiltonien, normée (ie ), qui dépend donc implicitement de ; est l'énergie (la valeur propre) de la fonction d'onde ; implique l'intégration sur le domaine de définition de la fonction d'onde.
Démonstration Pour démontrer ce théorème, on part de . En dérivant par rapport au paramètre , on obtient :
Comme et , il reste :
Comme est normée, . La formule précédente se réécrit : Ce qu'il fallait démontrer.
Références
Catégorie:Mécanique quantique