vignette|Essai de compression sur une éprouvette de béton, une pression croissante est appliquée verticalement sur l'échantillon pendant que deux appareils mesurent les déformations longitudinales et transversales de l'éprouvette. vignette|À l'issue du test, l'éprouvette s'est rompue. Notez la cassure longitudinale.
La résistance des matériaux (RDM) (ou résistance mécanique des matériaux et des structures) est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus, permettant le calcul des contraintes et déformations dans les structures des différents matériaux (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil).
La RDM permet de ramener l'étude du comportement global d'une structure (relation entre sollicitations — forces ou moments — et déplacements) à celle du comportement local des matériaux le composant (relation entre contraintes et déformations). L'objectif est de concevoir la structure suivant des critères de résistance, de déformation admissible et de coût financier acceptable.
Lorsque l'intensité de la contrainte augmente, il y a d'abord déformation élastique (le matériau se déforme proportionnellement à l'effort appliqué et reprend sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît), suivie parfois (en fonction de la ductilité du matériau) d'une déformation plastique (le matériau ne reprend pas sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît, il subsiste une déformation résiduelle), et enfin rupture (la sollicitation dépasse la résistance intrinsèque du matériau).
Définition La résistance des matériaux est désignée aussi résistance mécanique des matériaux et des structures pour préciser le champ de cette discipline.
Histoire
En 1638, Galilée publie (Discours concernant deux sciences nouvelles). Dans ce discours, Galilée étudie la résistance des matériaux et le mouvement des corps et est le premier à théoriser ceux-ci.
Il s'intéresse à la résistance d'une poutre en console soumise à l'action d'un poids situé à son extrémité. Il montre que le fonctionnement de la poutre-console peut être assimilée à un levier coudé s'appuyant au droit de l'encastrement. L'action de la partie du levier comprise entre la section d'encastrement et la charge est équilibrée par la partie du levier correspondant à la section d'encastrement. Cette approche va permettre de changer la manière d'aborder les problèmes de résistance des structures.
Cependant, Galilée commet une erreur, car il admet que la contrainte de traction dans toute la hauteur de la section d'encastrement est uniforme..
En 1678, Robert Hooke énonce la loi qui porte son nom (loi de Hooke) qui indique que la déformation d'un corps sous une contrainte inférieure à la limite d'élasticité est proportionnelle à l'effort exercé.
Edme Mariotte reprend les études de flexion des poutres. Il montre que la résistance estimée à partir de la théorie de Galilée pour une poutre en console était exagérée. Il montre dans ses essais que la fibre inférieure de la poutre en console est comprimée, que la fibre supérieure est tendue et que la valeur absolue des forces exercées en compression et en traction sont identiques. Cette étude de la flexion des poutres est publiée en 1686 après la mort de Mariotte par Philippe de La Hire.
Jacques Bernoulli étudie la déformation de lelastica, ligne élastique qui se déforme en flexion sans contraction ni extension et montre que le moment de flexion est proportionnel à la courbure correspondante de la tige. Vers 1750, Leonhard Euler émet la première théorie des poutres. Daniel Bernoulli écrit l'équation différentielle pour l'analyse vibratoire. L'étude de l’élasticité le conduit à énoncer la .
Charles-Augustin Coulomb, appliquant la loi de Hooke pour une section finie de poutre, propose une théorie de la flexion.
Thomas Young met en évidence que le cisaillement produit une déformation élastique et remarque que la résistance élastique au cisaillement était différente de la résistance élastique à la traction-compression pour une même substance. Il introduit le concept de module d'élasticité d'une substance, devenu le module de Young.
Le , Henri Navier présente le Mémoire sur les lois de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiquesLire en ligne : Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. 1816-1949, tome VII, 375, 1827. à l'Académie des sciences dans lequel il présente les équations d'équilibre des solides élastiques en utilisant une « théorie de mécanique moléculaire ». En supposant le milieu isotrope, il aboutit à des équations d'équilibre pour des solides élastiques. Il ne fait intervenir qu'une seule constante semblable au module de Young.
Navier est professeur suppléant de mécanique appliquée à l'école des ponts et chaussées en 1819 et est devenu professeur titulaire en 1831. Siméon Denis Poisson s'est opposé à la théorie de Navier entre 1828 et 1829.
En 1822, Augustin Louis Cauchy, dans une communication à l'Académie des sciences, introduit le concept de contrainte et explicite la notion de déformation décrite par ses six composantes ou par les axes principaux des déformations et les extensions principales qui leur correspondent.
Cauchy écrit les équations d'équilibre en contraintes et souhaite aboutir aux déplacements correspondant à cet état d'équilibre d'un solide supposé élastique. Il suppose que les matériaux sont isotropes et ont une relation contrainte-déformation, que les directions principales des contraintes et des déformations coïncident. Il introduit deux constantes matérielles pour écrire les équations d'équilibre d'un corps élastique exprimées en déplacements.
George Green introduit une approche énergétique pour écrire les équations d'équilibre.
Adhémar Barré de Saint-Venant présente à l'Académie des sciences plusieurs mémoires sur la résistance, la flexion et la torsion des corps solides.
La théorie mathématique de l'élasticité des corps solides a été développée par Siméon Denis Poisson (1812), Augustin Louis Cauchy (1823), Gabriel Lamé (1833-1852).
Le premier cours de résistance des Matériaux est donné par August Wöhler à l'université de Göttingen en 1842. À la suite d'expériences, Wöhler montre l'influence des charges répétées et alternées sur la résistance des matériaux.
Karl Culmann va développer le principe du calcul des systèmes réticulaires dans l'hypothèse des nœuds articulés en 1852 pour aboutir à la statique graphique. Maurice Lévy développe cette méthode de calculs.
Émile Clapeyron, à partir de la théorie de l'élasticité établit les équations de Clapeyron pour le calcul des poutres continues en 1857 et écrit en 1858 son mémoire sur le travail des forces élastiques.
En 1864, James Clerk Maxwell énonce le principe de réciprocité des déplacements des points d'application des forces extérieures, cas particulier du théorème de réciprocité de Maxwell-Betti.
Emil Winkler développe la méthode de calcul des lignes d'influence et le calcul des efforts secondaires dans les systèmes réticulaires (1860-1867).
Menabrea établit le principe du travail élastique minimum, en 1868.
Christian Otto Mohr établit le calcul des systèmes articulés à barres surabondantes par application du travail virtuel (1874).
Castigliano démontre le théorème des dérivées du travail (1875).
La théorie de l'arc élastique est développée à partir de la théorie de Culmann et des équations de Bresse.
Avec le développement de l'informatique et celui de la méthode des éléments finis, la discipline s'est vu ouvrir au des champs d'études basés sur une approche probabiliste permettant de mieux prendre en considération les variations de caractéristiques des matériaux, ainsi qu'un grand nombre de sollicitations.
Démarche générale thumb|Démarche de calcul manuel selon la théorie des poutres.
La résistance des matériaux est utilisée pour concevoir des systèmes (structures, mécanismes) ou pour valider l'utilisation de matériel. On se place dans le cas d'une déformation réversible : une déformation irréversible (déformation plastique ou rupture) rendrait la pièce inopérante. Il faut donc vérifier deux choses : Que l'on reste bien dans le domaine élastique, par l'application d'un critère de ruine : c'est la vérification de l'état limite ultime (ELU) ; Que la déformation élastique sous charge est compatible avec la fonction de la pièce : c'est la vérification de l'état limite en service (ELS). Pour effectuer les calculs de validation, il faut passer par une étape de modélisation : étude statique : détermination des efforts extérieurs auxquels est soumise la pièce étudiée ; modélisation du matériau : cela consiste à déterminer des valeurs caractéristiques du matériau par des essais mécaniques, en particulier l'essai de traction ; on s'intéresse en général à la limite d'élasticité pour l'ELU, et au module de Young pour l'ELS ; modélisation de la pièce : pour des calculs à la main, on utilise des modèles simples (poutre pour des pièces élancées, plaques ou coques pour des pièces minces) ; le calcul par ordinateur (éléments finis) utilise un modèle numérique de la structure (dans un logiciel de CAO).
L'application des lois de l'élasticité permet de déterminer le tenseur des contraintes. On compare ensuite les valeurs des contraintes avec les limites d'élasticité du matériau, en utilisant un « critère de ruine », pour valider ou invalider à l'ELU.
Les lois de l'élasticité permettent également de déterminer le champ de déplacement, ce qui permet de valider ou d'invalider à l'ELS.
Hypothèses de la résistance des matériaux Dans son utilisation courante, la RDM fait appel aux hypothèses suivantes :
Le matériau est : élastique (le matériau reprend sa forme initiale après un cycle chargement / déchargement), linéaire (les déformations sont proportionnelles aux contraintes), homogène (le matériau est de même nature dans toute sa masse), isotrope (les propriétés du matériau sont identiques dans toutes les directions).
Le problème est : en petits déplacements (les déformations de la structure résultant de son chargement sont négligeables et n'affectent pratiquement pas sa géométrie), quasi statique (pas d'effet dynamique), quasi isotherme (pas de changement de température).
Ces simplifications permettent de faire des calculs simples et rapides, automatisés (par ordinateur) ou à la main. Elles sont toutefois parfois inadaptées, en particulier : on utilise fréquemment des matériaux fortement hétérogènes ou anisotropes, comme les matériaux composites, le bois, le béton armé ; certaines applications impliquent des déformations élastiques importantes, notamment avec des matériaux souples (matériaux composites, polymères), on n'est alors plus dans le domaine linéaire ni dans celui des petits déplacements.
Notons enfin que la déformation plastique est un « mécanisme de protection » contre la rupture, en dissipant l'énergie de déformation. Sa prise en compte dans les aciers permet de concevoir des structures métalliques plus légères (par exemple Annexe 80 des Règles de calcul des constructions en acier CM66) ; ceci appartenant encore au cadre non linéaire et des grands déplacements.
La déformation reste néanmoins toujours limitée ; le domaine des très grandes déformations appartient plutôt au cadre de la rhéologie.
Notion de poutre
Le concepteur utilise la résistance des matériaux avant tout pour déterminer les dimensions des éléments de construction et vérifier leur résistance et leur déformation. L'un des éléments structurels le plus fréquent est la poutre, c'est-à-dire un objet de grande longueur par rapport à sa section, chargée dans son plan moyen de symétrie.
Sollicitations Sollicitations élémentaires