En théorie des probabilités, l'inégalité d'Efron-Stein permet de borner la variance d'une fonction générale de variables aléatoires indépendantes. Cette inégalité peut être couplée avec d'autres inégalités de concentration classiques, comme l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Énoncé Soient des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans un espace une fonction générale des avec alors

où désigne l'espérance conditionnelle conditionnée par rapport à , c'est-à-dire

où est la densité de .

Si on pose des copies indépendantes des et que l'on pose

,

alors le membre de droite de cette inégalité peut également s'écrire :

où et .

On peut également écrire que où l'infimum est pris sur l'ensemble des -mesurable et les variables admettant un moment d'ordre deux.

Démonstration L'idée de la preuve est de généraliser le cas où quand , on a

Si on note l'espérance conditionnelle conditionnée par rapport à (avec la convention et que l'on pose

alors

Donc

Or, si donc

On a donc à présent que .

D'après le théorème de Fubini, , d'où . D'après l'inégalité de Jensen,

Finalement, .

Démontrons maintenant l'égalité des termes pour le membre de droite de l'inégalité d'Efron-Stein. Si on note la variance conditionnelle conditionnée par rapport à alors

En utilisant le fait que si et sont des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées alors

Or conditionnellement à , les variables et sont indépendantes et identiquement distribuées d'où

La dernière égalité vient du fait que l'on puisse écrire que . Donc conditionnellement à , on peut écrire que

Applications

Fonctions avec différences bornées Une fonction possède la propriété de différences bornées s'il existe des constantes positives tels que

Si une fonction vérifie cette propriété avec les constantes , alors d'après l'inégalité d'Efron-Stein et parce que pour , on a

Fonctions auto-bornées

On dit qu'une fonction positive est auto-bornée s'il existe des fonctions tels que pour tout et tout ,

et

D'après l'inégalité d'Efron-Stein, toute fonction auto-bornée vérifie .

Références

Efron