En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de pCette définition est conforme à ; ; ; ; M. Reversat et B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et .. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.
Propriétés Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe. Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe. On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe. La somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe. Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p. Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p. Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial (par trivial, on entend réduit à l'élément neutre). Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble. Soit G un p-groupe fini d'ordre pn. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre prTout groupe d'ordre p possède même, pour tout r ≤ n, un sous-groupe normal d'ordre p : , Proposition C-1.25..
Tout p-groupe fini non abélien possède au moins un. automorphisme non intérieur d'ordre une puissance de p. Tout automorphisme d'un p-groupe G d'ordre p induit un automorphisme du quotient de G par son sous-groupe de Frattini Φ(G) = G[G, G]. Ce quotient est un groupe abélien élémentaire (ℤ/pℤ), dont le groupe d'automorphismes est GL(d, F), d'ordre (p – 1)(p – p)(p – p) … (p – p). Le noyau du morphisme canonique de Aut(G) dans Aut(G/Φ(G)) a pour ordre. un diviseur de p. L'exposant d'un p-groupe est une puissance de p.
RemarqueCette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple ou : tout groupe d'ordre p2 est soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Articles connexes Groupe de Heisenberg sur F Groupe de Prüfer Théorèmes de Sylow Théorème de Frattini
Bibliographie Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of Prime Power Order, vol. 1 et 2 , De Gruyter, 2008
Liens externes Cours de théorie des groupes par N. Jacon de l'université de Franche-Comté
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